Размер: px

Начинать показ со страницы:

Транскрипт

1 1 Количество решений системы уравнений Графический динамический метод Для нахождения количества решений системы уравнений, содержащих параметр, полезен следующий приём Строим графики каждого из уравнений при некотором фиксированном значении параметра и находим число общих точек построенных графиков Каждая общая точка это одно из решений системы Далее мысленно меняем параметр и представляем, как трансформируется график уравнения с параметром, как появляются и исчезают общие точки графиков Такое исследование требует развитого воображения Для тренировки воображения рассмотрим ряд типичных задач Назовём особыми значениями параметра те значения, при которых изменяется число решений Эти значения соответствуют ситуациям, когда графики решений касаются друг друга или угловая точка одного из графиков попадает на другой график Как правило, при переходе через особую точку число решений изменяется на два, а в самой такой точке оно на единицу отличается от числа решений при небольшом изменении параметра Рассмотрим задачи, в которых требуется найти число решений системы уравнений, одно из которых зависит от параметра а, а другое не зависит Переменные в системах x и y Числа xi, yi, r считаем заданными константами В ходе каждого решения, строим графики обоих уравнений Исследуем, как изменяется график уравнения с параметром при изменении значения параметра Затем делаем вывод о числе решений (общих точек построенных графиков) На интерактивном рисунке график уравнения без параметра показан синим цветом, а динамичный график уравнения с параметром показан красным цвета Для изучения темы (задания 1 7) используйте файл InMA 11, 5 Число решений системы с параметром Для исследований (задание 8) используйте файл GInMA Число решений системы с параметром (x x0) + (y y0) = r ; 1 Найдите число решений системы (x x1) + y = a (x x0) + (y y 0) = r ; Найдите число решений системы y = kx + a (x x0) + (y y0) = r ; 3 Найдите число решений системы y = ax + y1 (x x0) + (y y0) = r ; 4 Найдите число решений системы (x x1) + y = a (x x0) + y y0 = r ; 5 Найдите число решений системы (x x0) + (y y0) = a (x x0) + (y y0) = r ; 6 Найдите число решений системы y = x a + y1 x x0 + y y0 = r; 7 Найдите число решений системы (x x0) + (y y0) = a f (x, y) = 0; g (x, y, a) = 0 8 Найдите число решений системы ВВ Шеломовский Тематические комплекты, cmdru/

2 1 Графики уравнений гладкие кривые (x x0) + (y y0) = r ; 1 Задание Найдите число решений системы (x x1) + y = a Решение: График первого уравнения это окружность радиуса r с центром в точке О(х0; у0) График второго уравнения это окружность радиуса a с центром на оси абсцисс в точке А(х1; 0) Центр окружности неподвижен, радиус определяет параметр При увеличении модуля параметра окружность «раздувается» Особые значения параметра те значения, при которых изменяется число корней, то есть значения параметра, при которых окружность второго графика касается окружности первого Условие касания окружностей модуль суммы или разности радиусов окружностей равен межцентровому расстоянию: а ± r = АО а = ± АО ± r Исследование: Изменяя значение переменных и параметра, найдите число решений системы Начать исследование желательно с простейших случаев у0 = 0, когда общая ось окружностей горизонтальна, и х0 = х1, когда общая ось окружностей вертикальна В общем случае пользуйтесь треугольниками Пифагора Например, х0 х1 = 3, у0 = ±4 Типично, что как при малых по модулю, так и при больших по модулю значениях параметра решений нет Поскольку две несовпадающие окружности могут иметь не более двух общих точек, число решений в общем случае не более двух В точках касания число решений равно единице, при промежуточных значениях параметра двум Творческое задание Найдите то значение параметра, при котором три различные точки (x 1) + (y y0) = 9; являются решениями системы уравнений (x x1) + y = a (x x0) + (y y0) = r ; Задание Найдите число решений системы y = kx + a Решение: График первого уравнения это окружность радиуса r с центром в точке О(х0; у0) График второго уравнения это семейство параллельных прямых, проходящих через точки А(0; а) и имеющих постоянный наклон Тангенс угла наклона прямых равен k При увеличении параметра прямые перемещаются вверх Особые значения параметра те значения, при которых изменяется число корней, то есть значения параметра, при которых прямые касаются окружности Условие касания находим, приравнивая тангенсы угла наклона окружности и прямой ВВ Шеломовский Тематические комплекты, cmdru/

3 3 Решая полученное уравнение, находим координаты двух точек касания: kr x = x0 ± ; x0 x 1 + k = k k (y y0) + (y y0) = r r y y0 y = y0 1+ k Подставив полученные выражения в уравнение прямой, найдём значение параметра в особых точках: a = y 0 kx0 ± r 1 + k Исследование: Изменяя значение переменных и параметра, найдите число решений системы Начать исследование желательно с простейшего случая k = 0, когда прямые параллельны оси абсцисс Затем рассмотрите случаи, когда корень извлекается (например, k = 3), уделите внимание популярному случаю k = 1 При малых и при больших значениях параметра решений нет Поскольку прямая и окружность могут иметь не более двух общих точек, число решений не более двух При значениях параметра, соответствующих касанию, число решений равно единице, при промежуточных значениях параметра двум Творческое задание Известно, что данная система уравнений имеет не более одного решения Найдите то значение параметра, при котором система уравнений имеет решение: (x) + (y 3) = r ; y = x + a (x x0) + (y y0) = r ; 3 Найдите число решений системы y = ax + y1 Решение: График первого уравнения это окружность радиуса r с центром в точке О(х0; у0) График второго уравнения это семейство прямых, проходящих через точку А(0; у1) Тангенс угла наклона прямых (а) определяет значение параметра При увеличении параметра возрастает угол между графиком и положительным направлением оси абсцисс Особые значения параметра те значения, при которых изменяется число корней, то есть значения параметра, при которых прямые касаются окружности Если точка А(0; у1) находится внутри окружности, то любая возможная прямая пересекает окружность в двух точках Условие касания находим, приравнивая тангенсы угла наклона окружности и прямой Решая полученное уравнение, находим координаты двух точек касания: ВВ Шеломовский Тематические комплекты, cmdru/

4 4 ar x = x0 ± ; x0 x 1 + a = a a (y y0) + (y y0) = r r y y0 y = y0 1+ a Подставив полученные выражения в уравнение прямой, найдём значение параметра в (y1 y 0) r особых точках Если x0 = 0, то особые значения параметра a = ± r Если y0 = y1, x0 r, то особые значения параметра a = ± (y1 y 0) r r x0 Если х0 = ± r, то окружность касается вертикальной прямой, проходящей через точку r (y1 y 0) А(0; у1) и значение параметра a = В остальных случаях x0 (y1 y 0) a= x0 (y 0 y1) ± r (x0 + (y 0 y1) r) r x0 Исследование: Изменяя значение переменных и параметра, найдите число решений системы Начать исследование желательно с простейшего случая y0 = y1, x0 < r, когда точка А(0; у1) внутри окружности и число решений всегда равно двум Рассмотрите случай х0 = r, когда число решений легко найти (х0 = r =, y0 = 3, y1 =) Затем рассмотрите случаи, когда корень хорошо извлекается (например, х0 = 3, y0 = 4, r =, y1 =) Поскольку прямая и окружность могут иметь не более двух общих точек, число решений не более двух При значениях параметра, соответствующих касанию, число решений равно единице, при остальных значениях параметра нулю или двум (x + 3) + (y 5) = r ; при всех y = ax + 1 Творческое задание Известно, что система уравнений значениях параметра, кроме одного, имеет два решения Найдите то значение параметра, при котором система уравнений имеет единственное решение (x x0) + (y y0) = r ; 4 Задание Найдите число решений системы (x x1) + y = a Решение: В ходе решения строим графики каждого из уравнений и исследуем число общих точек построенных графиков График первого уравнения это пара окружностей одинакового радиуса r Центры окружностей O и Q имеют одинаковую ординату y0 и ВВ Шеломовский Тематические комплекты, cmdru/

5 5 одинаковые по модулю, но разные по знаку абсциссы ±x0 Графики показаны синим и фиолетовым цветом График второго уравнения это окружность радиуса a с центром на оси абсцисс в точке А(х1; 0) Особые значения параметра те значения, при которых изменяется число корней, то есть значения параметра, при которых окружность второго графика касается окружностей первого Условия касания сумма или разность радиусов окружностей равна межцентровому расстоянию: а ± r = АО, а ± r = АQ Исследование: Изменяя значение переменных и параметра, найдите число решений системы Пользуйтесь целыми значениями для одного межцентрового расстояния (например, х0 = 6, y0 = 3, r = 3, х1 =) Типично, что при малых по модулю и больших значениях параметра решений нет В точках касания число корней нечётное, в остальных точках число корней чётное (x 6) + (y y 0) = r ; Творческое задание Известно, что система уравнений при (x x1) + y = a некотором значении параметра имеет ровно два решения При этом значении параметра, графики касаются Найдите это значение параметра (x x0) + y y0 = r; 5 Найдите число решений системы (x x0) + (y y0) = a Решение: График первого уравнения состоит из пары парабол, которые стыкуются при y = y0 Уравнения парабол y = y0 ± (r (x x0)) Они имеют горизонтальную ось симметрии y = y0, вертикальную ось симметрии х = х0 Центр симметрии точка (x0, у0) Второй график это окружность радиусом а, центр которой расположен в центре симметрии парабол Число корней изменяется при таком значении параметра, при котором происходит касание окружности второго графика с вершинами парабол В точке касания: х = х0, y = y0 ± r = y = y0 ± а, значит, а = ± r Число корней изменяется при таком значении параметра, при котором происходит внутреннее касание окружности второго графика с параболами Чтобы найти это значение, переходим от системы уравнений к уравнению с одной переменной: (y y 0) = a (x x0) = (r (x x0)) Это квадратное уравнение для (x x 0) Оно имеет один корень, если дискриминант равен нулю: ВВ Шеломовский Тематические комплекты, cmdru/

6 6 D = (r 0,5) (r a) = 0, a = ± r 1 4 Число корней изменяется при таком значении параметра, при котором происходит пересечение окружности и параболы в точках излома первого графика, то есть при y = y0 Исследование: Изменяя значение переменных и параметра, найдите число решений системы Пользуйтесь значениями r = 1, 4 и 9 Обратите внимание на то, что параметры х0 и y0 не влияют на ответ задачи При малых по модулю и больших значениях параметра решений нет x x0 + y y0 = r; 6 Найдите число решений системы (x x0) + (y y0) = a Решение: График первого уравнения это квадрат, наклоненный под углом 45 к осям координат, длина половины диагонали которого равна r Второй график это окружность радиусом а, центр которой расположен в центре симметрии квадрата Число корней изменяется при том значении параметра, при котором окружность проходит через вершины квадрата При этом y = у0, а = ±r Число корней изменяется при том значении параметра, при котором происходит внутреннее касание окружности со сторонами квадрата Чтобы найти это значение, переходим от системы уравнений к уравнению с одной переменной: (y y 0) = a (x x0) = (r x x0) Это квадратное уравнение для x x 0 Оно имеет один корень, если дискриминант равен нулю При этом a = ± r Радиус окружности в этом случае относится к радиусу в предыдущем случае, как sin 45: 1 ВВ Шеломовский Тематические комплекты, cmdru/

7 7 (x x0) + (y y0) = r ; 7 Найдите число решений системы y = x a + y1 График первого уравнения это окружность с центром O(x0; y0) График второго уравнения состоит из двух лучей с общим началом это «птичка, крылья вверх», вершина графика расположена в точке А(а; у1) Число корней изменяется при том значении параметра, при которых «крыло» второго графика касается окружности или вершина графика лежит на этой окружности Тангенс угла наклона «правого крыла» к оси абсцисс равен 1, значит прямая, r x = x ±, k 0 содержащая это крыло, касается окружности в точках (хk; уk), таких, что r yk = y0 Условие касания уk = хk а + у1 а = хk уkа + у1= x0 y0 + у1 ± r Поскольку «крыло» это луч, идущий вверх, добавляется условие, что ордината вершины должна быть не больше, чем ордината точки касания, то есть у1 уk y0 у1 ± r Аналогично записываем условия касания с «левым крылом» Если вершина графика лежит на окружности, то её координаты удовлетворяют уравнению окружности: (а x0) + (у1 у0) = r Изменяя значение параметра, исследуйте число решений системы, то есть количество общих точек графиков В особых точках число корней нечётное, в остальных точках число корней чётное (x) + (y y 0) = r, Творческое задание Известно, что система уравнений при y = x a + y1, некотором значении параметра имеет три решения Найдите это значение параметра, если известно, что при этом ординаты двух решений совпадают f (x, y) = 0; g (x, y, a) = 0 8 Найдите число решений системы Задайте функции самостоятельно по образцу и исследуйте количество решений ВВ Шеломовский Тематические комплекты, cmdru/

8 8 ВВ Шеломовский Тематические комплекты, cmdru/

9 9 Задания С5 (Семёнов Ященко) Вариант 1 Найдите все значения а, при каждом из которых множеством решений неравенства 4 x 1 x+ 3 a 3 является отрезок 3 a 4 x Размышляем Выполним преобразования x b 1, 1 x b 1, 4 x 1 x+3 a x b 3=, b=3 a 3 a 4 x x (x) 0, (x +1) b 1 0 Граничные линии плоскости x 3a это: x = 0, x =, x= 3a, x=± 3 a a=(x+ 1) 1 4 Если 0 х, то b < 4x, b (x +1) 1 Так как 4x > (x +1) 1, то b (x +1) 1 Если 0 > х то b > 4x, (x +1) 1 b Решение есть при 1 b Например, x = 1 Если x >, то b > 4x, (x +1) 1 b Так как 4x < (x +1) 1, то (x +1) 1 b Значит, решения таковы Если 3а > 8, то х [ 3 a+ 1 1,0] [, 3 a +1 1] Если 3а = 8, то х [ 4,0] х [ 3 a +1 1,0] [ 3 a+1 1, ] Если 0< 3а < 8, то Если 3а = 0, то х [,0) (0, ] Если 1< 3а < 0, то х [ 3 a +1 1, 3 a+1 1] [ 0, ] Если 1 = 3а, то х 1 } Если 1 > 3а, то х Решение Пусть 1 3а Тогда x = 1 удовлетворяет неравенству, 4 x 1 x+ 3 a 16+3 a 3 a 3 = 3 =, противоречие, это число вне отрезка 3 a 4 x 3 a+ 4 3 a +4 Пусть 1 > 3а Тогда x b 1, 4 x 1 x+3 a x b 3=, b=3 a < 1 3 a 4 x 1 x b 1, x (x) 0, (x +1) b 1 0 Числа из промежутка 0 х удовлетворяют обоим неравенствам Если x >, то первое неравенство не выполнено ВВ Шеломовский Тематические комплекты, cmdru/

10 10 Если 0 > х, то b (x +1) 1, второе неравенство не выполнено Ответ: 1 > 3а Вариант 3 Найдите все значения а, при каждом из которых имеет хотя бы один корень уравнение a +7 x x + x +5= a+ 3 x 4 a +1 Размышляем Пусть f (a, x)=a +7 x x + x +5 a 3 x 4 a+1 Особая точка функции х + 1 = 0 Если х = 1, то уравнение имеет вид a +10 a 1 a =0 Легко найти его четыре решения Нужно доказать, что исходная функция всегда больше этой Решение Пусть f (a, x)=a + 7 x x + x +5 a 3 x 4 a+1 Уравнение f (a, x)=0 Тогда f (a, 1)=a +10 a 1 a =0 Разность f (a, x) f (a, 1)=7 x +1 +5(x + x +5)+ 3 4 a 3 x 4 a+1 3(x a 4 a x 1) 0 Значит, уравнение f (a, x)=0 имеет корни только в случае, если f (a, 1) 0 Уравнение f (a, 1)=0 имеет четыре корня a 1= , a = , a 3= , a 4 = Функция f (a, 1) 0 (не положительная) при a Например, если а = 10, то есть корень При остальных значениях а x= f (a, x) f (a, 1)>0 Корней нет Ответ: [ 5 15, 5+ 15] Вариант 5 Найдите все значения а, при каждом из которых имеет хотя бы один корень уравнение a +11 x+ +3 x + 4 x +13=5 a+ x a + Используем функцию f (a,)=a +9 5 a 4 a =0 и неравенство f (a, x) f (a,) (x+ + a x a+) 0 Ответ: [ , ] Вариант 9 Найдите число корней уравнения x + 4x 5 3a = x + a 1 Размышляем Считаем известным следующее (очевидное) утверждение Пусть функции f(x) и g(x) заданы на некотором промежутке Пусть производная одной больше на промежутке, чем другой Пусть разность значений функций на левом конце имеет один знак, на правом другой Тогда уравнение f(x) = g(x) имеет на промежутке ровно один корень Решение Обозначим f(x, a) = 3а + x + a, g(x) = x + 4x Уравнение f(x, a) = g(x) ВВ Шеломовский Тематические комплекты, cmdru/

11 11 Особые точки функции g(x) это минимумы при x = 1 и x = 5 и максимум при x = Значения g(1) = g(5) = 1, g() = 10 Функция имеет ось симметрии x = 3 При больших по модулю значениях икса квадратичная функция g(x) больше линейной f(x, a) Наклон функции вне отрезка [ 5,1] определяем производной (x + 4x 5)" = x при x > 1 Функция g(x) при x > 1 монотонно возрастает с коэффициентом больше, чем 6 В силу симметрии, функция g(x) монотонно убывает с коэффициентом больше, чем 6 при x< 5 Наклон g(x) равен 1 только на промежутке (5, 1) При этом производная (x 4x + 5)" = x 4 = 1 Значит, в точке x = 5 наклон равен 1 Функция f(x, a) = 3а + x + a монотонно убывает с коэффициентом 1 при x + а < 0 и монотонно возрастает с коэффициентом 1 при x + а > 0 Значения в ряде точек f(а, a) = 3а, f(5, a) = 3а + 5 a, f(, a) = 3а + a, f(1, a) = 3а + 1+ a Графики f(x, a) и g(x) касаются, если равны их наклоны Касание возможно при x = 5 При этом g(x) = 39/4 f(x, a) = 4а + x = 39/4, 4a = 49/4, a = 49/16 Анализируем корни уравнения f(x, a) = g(x) Если a <, f(5, a) = а +5 < 1, f(1, a) = а 1 < 5 f(x, a) < g(x), так как в промежутке 5 < x < 1 f(x, a) < 1 < g(x) Если x > 1, g(x) возрастает быстрее, чем f(x, a), то есть всюду f(x, a) < g(x) Если x < 5, g(x) убывает быстрее, чем f(x, a), то есть всюду f(x, a) < g(x) Других корней нет Если a =, f(5, a) = 1, f(1, a) = 5 f(5,) = g(5) Один корень х = 5 Во всех других точках f(x, a) < g(x), как и в предыдущем случае Если < a < 0, f(5, a) = а +5 > 1, f(1, a) = 4а + 1 < 1f(, a) = а + < 10 При x > f(x, a) < g(x), корней нет При x < f(1,a) > 1 При x < 5 быстро убывающая g(x) пересекает медленно убывающую левую ветвь f(x,а), один корень При 5 < x < возрастающая g(x) пересекает убывающую f(x,а), один корень, всего корней два, один при x < 5, второй при 5 < x < Если a = 0, f(5, a) = 5, f(1, a) = 1 f(1, a) = g(1), один корень х = 1 Как и раньше, один корень при x < 5, один корень при 5 < x < Всего корней три Если 0 < a < 3, корней 4, два на левой ветке f(х, a) при x <, два на правой при x > Если a = 3, f(3, 3) = 8 = g(3), f(, 3) = 10 = g(), корней 4, один два на левой ветке f(х, a) при x < 5, один в вершине f(х, 3) при x = 3, один в вершине g(x) при x =, один при x > 1 Если 3 < a < 49/16, корней 4, один на левой ветке f(х, a) при x < 5, два на правой ветви g(x) при 3 < x <, один при x > 1 Если a = 49/16, то число корней 3, один на левой ветке f(х, a) при x < 5, один в точке касания при x = 5, один при x > 1 Если a > 49/16, то число корней, один на левой ветке f(х, a) при x < 5, один на правой при x > 1 Ответ: нет корней при a < ; один корень при a =, два корня при < a < 0 или 49/16 < a, три корня при a = 0 или а = 49/16, четыре корня при 0 < a < 49/16 ВВ Шеломовский Тематические комплекты, cmdru/

12 1 Вариант 10 Найдите все значения параметра a, для каждом из которых имеет два корня уравнение 4x 3x x + a = 9 x 3 Решение Обозначим f(x, a) = 4x 3x x + a, g(x) = 9 x 3 Особая точка функции g(x) это x = 3 Функция монотонно убывает с коэффициентом 9 при x < 3 и монотонно возрастает с коэффициентом 9 при x > 3 Функция f(x, a) является кусочно линейной с коэффициентами 8, 6, или 0 Значит, она не убывает по иксу, скорость её роста меньше, чем у правой ветви функции 9 x 3 f(3, a) = a График этого выражение суть ломаная с вершинами (1, 1), (3, 3), (6, 1) Значения функции положительные при а (4, 18) Из найденного следует Если f(3, a) < 0, уравнение не может иметь корней, так как g(x) > f(x, a) Если f(3, a) = 0, уравнение имеет ровно один корень x = 3 Для других иксов g(x)> f(x, a) Если f(3, a) > 0, уравнение имеет ровно два корня, один при x < 3, когда пересекаются убывающая ветвь g(x) и монотонно не убывающая f(x, a) Другой при x > 3, когда быстро возрастающая ветвь g(x) пересекает медленно возрастающую ветвь f(x, a) Ответ: а (4, 18) Вариант 11 Найдите все значения параметра a, для каждом из которых при любом значении параметра b имеет хотя бы одно решение система уравнений (1+ 3 x)a +(b 4 b+5) y =, x y +(b) x y+ a + a=3 Размышляем Система имеет вид (1+ 3 x)a +(1+(b)) y =, Удобно x y +(b) x y=4 (a+ 1) a (1+3 x) =1, Видно решение x = y = 0 и x y =4 (a +1) соответствующие значения параметра a = 1 и a = 3 проанализировать особую точку b = Тогда (1+ 3 x)a +(1+(b)) y =, x y +(b) x y=4 (a+ 1) Решение Запишем систему в виде Решение x = y = 0 существует всегда при a = 1 или a = 3 Если b =, то система имеет вид (1+ 3 x)a +1 y =, или x y =4 (a +1) (1+3 x)a=1, x y =4 (a +1) Если a > 1 или a < 3 система не имеет решений, так как их не имеет второе уравнение Если 1 < a < 3, из второго уравнения получим, что x > 0, из первого найдём a = 0 Пусть a = 0 Тогда для b = 4 из первого уравнения получим, что у = 0 При этом второе уравнение не имеет решения Ответ: 1 или 3 ВВ Шеломовский Тематические комплекты, cmdru/

13 13 Вариант 14 Найдите все значения параметра, при каждом из которых модуль разности корней уравнения x 6x a 4a = 0 принимает наибольшее значение Решение Запишем уравнение в виде (x 3) = 1 (a) Его решение = 0 силу периодичности функций синус и косинус, задачу можно решать для отрезка x=3± 1 (a) Наибольшая разность корней равна при a = Ответ: Вариант 15 Найдите все значения параметра, при каждом из которых уравнение (4 4 k) sin t =1 имеет хоть одно решение на отрезке [ 3 π ; 5 π ] cos t 4 sin t Решение В силу периодичности функций синус и косинус, задачу можно решать для отрезка t [ π ; 15 π ], затем из каждого полученного решения вычесть 4π Преобразуем уравнение к виду + 4 k sin t cos t =0 cos t 4 sin t На отрезке t [ π ; 15 π ] синус монотонно убывает от нуля до минус единицы, косинус монотонно нарастает от минус единицы до нуля Знаменатель обращается в нуль при 4tgt = 1, то есть при sin t = 1 4, cos t = Числитель при t = π равен 1, при t = 15π равен 4k Если k 0, числитель положительный и уравнение не имеет корней Если k > 0, оба переменных слагаемых числителя убывают, то есть числитель изменяется монотонно Значит, числитель принимает нулевое значение ровно один раз, если k 05 и положителен при меньших значениях k Уравнение имеет корень, если числитель нуль, а знаменатель не нуль, то есть в случае 4k =+ 4 k sin t cos t + k Ответ: k [ 05,+)\1+ } Вариант 18 Найдите все значения параметра, при каждом из которых имеет единственное решение система уравнений (x a 5) +(y 3 a +5) =16, (x a) +(y a+1)=81 Размышляем Каждое уравнение описывает окружность Решение единственное в случае касания окружностей Решение Первое уравнение задает окружность с центром в точке (a + 5, 3a 5) и радиусом 4 Второе уравнение окружность с центром в точке (a +, a 1) радиусом 9 ВВ Шеломовский Тематические комплекты, cmdru/

14 14 Система имеет единственное решение если окружности касаются При этом расстояние между центрами равно = 13 или 0 4 = 5 Квадрат межцентрового расстояния: ((a + 5) (a +)) + ((3a 5) (a 1)) = a a + 5 Если расстояние 5, то a = 0 или a = 1 Если расстояние 13, то a = 8 или a = 9 Ответ: 8, 0, 1, 9 Вариант 1 Найдите все значения параметра при каждом из которых имеет ровно два неотрицательных решения уравнение 10 0,1 x a 5 x + a =004 x Решение Выполняем преобразования 5 x a 5 x + a =5 x Обозначим t = 5x 1 В силу монотонности показательной функции 5x, каждый корень t 1 порождает ровно один корень x 0 Уравнение примет вид t a t+ a t =0 Если a t, то t + 3t + a = 0 нет корней, больших, чем 1 Если t > a t/, то t t + 3a = 0 При t > 1 функция монотонно возрастает, корень только один Если 1/ > t/ > a, то t 3t a = 0 При t > 1 функция t 3t монотонно убывает от при t = 1 до 5 при t = 15 и далее монотонно возрастает Значит, при 5 > a корней два, при меньших а нет корней, при больших а корень ровно один Ответ: 5 > a Вариант Найдите в зависимости от параметра число решений системы x (a+1) x+ a 3= y, y (a+1) y + a 3= x Размышляем Система имеет вид f(x)= y, f(y)= x, или f(f(х)) = x Одно из решений f(x)= x Второе решение находим, вычитая уравнения Решение Вычтем из первого уравнения второе Получим (x + y a)(x y) = 0 Пусть x = у Подставим в первое уравнение, преобразуем Получим (x a 1) = 4 + а Пусть x + у = а Подставим в первое уравнение, преобразуем: (x a) = 3 + а Если a <, корней нет Если a =, то x = y = a + 1, единственное решение Если 15 > a >, то есть пара решений x= y =a+ 1± 4+ a Если a = 15, то два решения: x = y = a, x = y = a + Если 15 < a то решения x= y =a+ 1± 4+ a, x=a± 3+ a, y= a x Ответ: a < нет решений, а = одно, 15 a >, два решения, a > 15 четыре решения ВВ Шеломовский Тематические комплекты, cmdru/

15 15 Вариант 4 Найдите все значения а, при каждом из которых не имеет корней уравнение 7 x 6 +(4 a x)3 +6 x +8 a=4 x Размышляем 8a 4x = (4a x), 7x6 = (3x)3 Значит, уравнение включает сумму и сумму кубов одинаковых выражений Это можно использовать Решение Преобразуем уравнение к виду (3 x)3 +(4 a x)3+ (3 x + 4 a x)=0 Разложим сумму кубов (3 x +4 a x) ((3 x) 3 x (4 a x)+(4 a x) +)=0 Второй множитель это неполный квадрат разности увеличенный на Он положительный Выделив в первом множителе квадрат, получим 1 1 3(x) + 4 a = Это уравнение не имеет корней, если 4 a >0, a > 3 1 Ответ: 1а > 1 Вариант 8 Найдите значения а, при каждом из которых наибольшее значение функции x a x не меньше единицы Решение Если x a, функция f(x,a) = x a x Она максимальна при x = 0,5, максимум равен 0,5 а При a < 0,5 наибольшее значение функции 0,5 а 1 при 075 а Если x < a, функция f(x,a) = a x x Она максимальна при x = 0,5, максимум равен a + 05 При a > 0,5 наибольшее значение функции a + 0,5 1 при а 0,75 Ответ: а 0,75 или 075 а Пара функций Найти диапазон положительных значений а, для каждого из которых найдется такое b, что система уравнений: y = х4 + а, х = 8y + b имеет чётное число решений Решение: Из первого уравнения следует, что у > 0, второе уравнение можно 8 преобразовать к виду: y=, х (b; +) Искдючим у: x b f (x) = x a = 0; f `(x) = 4 x 3 + x b (x b)3 Каждый корень полученного уравнения порождает ровно одно решение исходной системы При b 0 функция f(x) монотонно возрастающая и уравнение имеет ровно один корень При отрицательных b < 0 функция f(x) монотонно возрастает от минус бесконечности до f(х1), уменьшается до f(х) и вновь монотонно возрастает при положительных иксах до плюс бесконечности Уравнение может иметь чётное число корней два только если корень совпадает с минимумом или максимумом функции, то есть в точке корня производная равна нулю, то есть f(х1) = g(х1) = 0 Исключая корень из уравнений, найдём: а = (4х1 + х14) Полученная функция имеет максимум при х1 = 1 (а = 3; b = 1,5), поэтому для любого a (0; 3) существуют х1, х х1 и b, при которых число корней равно два Однако при а = 3 х ВВ Шеломовский Тематические комплекты, cmdru/

16 16 = х1, оба корня совпадают и уравнение f(х) = 0 имеет только один корень Производная f`(x) положительная при х b и при х + Она равна нулю при условии f `(x) = 0 g (x) = x (x b) + 1 = 0 Последнее уравнение может иметь один или два корня, причём только при отрицательных иксах Обозначим их х1 и х: g(х1) = g(х) = 0 Ответ: a (0; 3) ВВ Шеломовский Тематические комплекты, cmdru/

Примеры решения заданий типа С5 для ЕГЭ 013 Большинство рисунков в комплекте интерактивные. Вы можете изменять параметры и уравнения графиков. Вход в интерактивные файлы выполняется с помощью щелчка по

Тема 41 «Задания с параметром» Основные формулировки заданий с параметром: 1) Найти все значения параметра, при каждом из которых выполняется определенное условие.) Решить уравнение или неравенство с

1 Функции, их графики и связанные с ними доказательства Оглавление 1 Корни и их количество...1 1.1 Корни уравнения...1 1.1.a Корни уравнения...1 1. Число корней... 1. Число корней... 1.4 Функциональное

Задание 18 Критерии оценки заданий 18 Содержание критерия Балл ы Обоснованно получен правильный ответ. 4 С помощью верного рассуждения получено множество значений а, отличающееся от искомого конечным числом

Линейное уравнение a x = b имеет: единственное решение, при a 0; бесконечное множество решений, при a = 0, b = 0; не имеет решений, при a = 0, b 0. Квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0 имеет: два различных

ВИДЫ ГРАФИКОВ Формула: y = kx + b k означает наклон прямой b показывает, на сколько единиц прямая смещена вверх или вниз относительно начала координат При положительном k прямая возрастает ПРИМЕРЫ: y =

C5 При каждом значении а решите систему Пары дающие решение системы, должны удовлетворять условиям Из второго уравнения системы находим Осталось заметить, что тогда Уравнение при условиях и имеет при,

Задание 23 314690. Постройте график функции будет пересекать по- и определите, при каких значениях прямая строенный график в трѐх точках. Построим график функции (см. рисунок). Из графика видно, что прямая

Задачи с параметром (графический прием решения) Введение Применение графиков при исследовании задач с параметрами необычайно эффективно. В зависимости от способа их применения выделяют два основных подхода.

Система подготовки учащихся к ЕГЭ по математике профильного уровня. (задачи с параметром) Теоретический материал Определение. Параметром называется независимая переменная, значение которой в задаче считается

Задания для самостоятельного решения. Найдите область определения функции 6x. Найдите тангенс угла наклона к оси абсцисс касательной, проходящей через точку М (;) графика функции. Найдите тангенс угла

Вебинар 5 Тема: Повторение Подготовка к ЕГЭ (задание 8) Задание 8 Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение a a 0 имеет или семь или восемь решений Пусть, тогда t t Исходное уравнение

Так как то правильный ответ Система требует выполнения двух и более условий причем мы ищем те значения неизвестной величины которые удовлетворяют сразу всем условиям Изобразим решение каждого из неравенств

Глава 8 Функции и графики Переменные и зависимости между ними. Две величины и называются прямо пропорциональными, если их отношение постоянно, т. е. если =, где постоянное число, не меняющееся с изменением

Тема 36 «Свойства функций» Свойства функции разберем на примере о графика произвольной функции y = f(x): 1. Область определения функции это множество всех значений переменной x, которые имеют соответствующие

Общие сведения Задачи с параметрами Уравнения с модулем задачи типа заданий С 5 1 Подготовка к ЕГЭ Дихтярь М.Б. 1. Абсолютной величиной, или модулём числа х, называется само число х, если х 0; число x,

Иррациональные неравенства Неравенства, в которых переменная содержится под знаком корня, называются иррациональными Основным методом решения иррациональных неравенств является метод сведения исходного

Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:

Квадратичная функция в различных задачах Дихтярь МБ Основные сведения Квадратичной функцией (квадратным трёхчленом) называется функция вида у ax bx c, где abc, заданные числа и Квадратичные функции у

Система задач по теме «Уравнение касательной» Определите знак углового коэффициента касательной, проведенной к графику функции y f (), в точках с абсциссами a, b, c а) б) Укажите точки, в которых производная

УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЯМИ Гущин Д. Д. www.mathnet.spb.ru 1 0. Простейшие уравнения. К простейшим (не обязательно простым) уравнениям мы будем относить уравнения, решаемые одним из нижеприведенных

МОДУЛЬ «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций». Применение непрерывности.. Метод интервалов.. Касательная к графику. Формула Лагранжа. 4. Применение производной

Р Е Ш Е Н И Е З А Д А Ч Р Е А Л Ь Н О Г О В А Р И А Н Т А Е Г Э - 2001 П О М А Т Е М А Т И К Е Часть 1 А1. Найдите значение выражения. 1. 15 2. 10 3. 5 4. Решение. Ответ: 1. А2. Упростите выражение. 1.

Методика формирования компетентностного компонента математической культуры учеников классов Система изучения учебных модулей по математике И. К. Сиротина, старший преподаватель кафедры информационных технологий

Алгебра 0 класс Тема Тригонометрические функции и преобразования Основные понятия Буквой Z обозначается множество целы чисел: Z {0; ; ; ;} Арксинусом числа а, принадлежащего промежутку [- ; ], называется

111 Функции Базовый уровень Оглавление 11101 Системы координат 1110 Понятие функции 7 1110 Область определения функции 10 11104 Область (множество) значений функции 1 11105 Возрастание и убывание функции

Глава ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ Т-0 Исследование функции по графику Т-0 Соответствие между графиком рациональной функции и формулой Т-0 Построение графика по свойствам Т-04 Параллельный перенос графика Т-05 Симметричное

Единый государственный экзамен по математике, 7 год демонстрационная версия Часть A Найдите значение выражения 6p p при p = Решение Используем свойство степени: Подставим в полученное выражение Правильный

Занятие 8 Основные тригонометрические формулы (продолжение) Тригонометрические функции Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму Формулы для преобразования произведения синуса и косинуса

ФУНКЦИИ. Понятие функции. Допустим, скорость движения человека составляет 5 км/ч. Если принять время в пути за x часов, а пройденный путь за y км, то зависимость пройденного пути от времени в пути можно

Общие сведения ЕГЭ Профильный уровень Задание 0 Задачи с параметрами Квадратные уравнения и уравнения с квадратным трёхчленом Дихтярь МБ Уравнение f (a) x + g(a) x + ϕ (a) = 0, где f (a) 0, является

Вокруг заданий 18 из ЕГЭ 2017 А.В. Шевкин, [email protected] Аннотация: В статье разобраны различные способы решения ряда заданий с параметром. Ключевые слова: уравнение, неравенство, параметр, функция,

Кривые второго порядка Окружность Эллипс Гипербола Парабола Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат. Кривой второго порядка называется множество точек, координаты которых удовлетворяют

Различные подходы к решению задач С С С5 ЕГЭ 9- года Подготовка к ЕГЭ (материал для лекции для учителей) Прокофьев АА aaprokof@yaderu Задачи С Пример (ЕГЭ С) Решите систему уравнений y si (si)(7 y)

1 Билеты 9 10. Решения Билет 9 1. Дана линейная функция f(x). Известно, что расстояние между точками пересечения графиков y = x и y = f(x) равно 10, а расстояние между точками пересечения графиков y =

Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Лекция 5 на плоскости. Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим

8 класс Решения 017-018 гг. Задание Задача 1 Найти сумму кубов корней уравнения (х х 7) (х х) 0. Для решения уравнения воспользуемся методом замены переменной. Обозначим у = х + х 7, тогда х + х = (х

ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ Уравнение касательной Рассмотрим следующую задачу: требуется составить уравнение касательной l, проведенной к графику функции в точке Согласно геометрическому смыслу производной

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ Достаточные условия возрастания и убывания функции: Если производная дифференцируемой функции положительна внутри некоторого промежутка Х, то она возрастает на этом промежутке Если

Вебинар 7 (6-7) Тема: Параметры ЕГЭ Профиль Задание 8 Найдите все значения параметра, при каждом из которых множество значений функции 5 5 5 содержит отрезок Найдите все значения параметра, для каждого

5.0. 014 г. Классная работа. Уравнения и системы уравнений с параметрами. Опыт вступительных экзаменов в вузы показывает, что решение уравнений и неравенств, содержащих параметры, вызывает большие затруднения

Л.А. Штраус, И.В. Баринова Задачи с параметром в ЕГЭ Методические рекомендации y=-x 0 -a- -a х -5 Ульяновск 05 Штраус Л.А. Задачи с параметром в ЕГЭ [Текст]: методические рекомендации / Л.А. Штраус, И.В.

Лекция 13 Тема: Кривые второго порядка Кривые второго порядка на плоскости: эллипс, гипербола, парабола. Вывод уравнений кривых второго порядка исходя из их геометрических свойств. Исследование формы эллипса,

Математика 8 класс 2 СОДЕРЖАНИЕ ПРОГРАММЫ Раздел 1. Алгебраические дроби (24 часа) Понятие алгебраической дроби. Основное свойство алгебраической дроби. Сокращение алгебраических дробей. Сложение и вычитание

Тема 10 «Графики элементарных функций». 1. Линейная функция f(x) = kx + b. График - прямая линия. 1) Область определения D(f) = R.) Область значений E(f) = R. 3) Нули функции у = 0 при x = k/b. 4) Экстремумов

П0 Производная Рассмотрим некоторую функцию f (), зависящую от аргумента Пусть эта функция определена в точке 0 и некоторой ее окрестности, непрерывна в этой точке и ее окрестностях Рассмотрим небольшое

Задачи с параметрами (10 11 классы) Параметры это те же числа, просто заранее не известные 1 Линейные уравнения и неравенства с параметрами Линейная функция: - уравнение прямой с угловым коэффициентом

Вариант Найти область определения функции: y + Область определения данной функции определяется неравенством Кроме того знаменатель не должен обращаться в нуль Найдём корни знаменателя: Объединяя результаты

БИЛЕТ 15 Физтех 017. Билеты 15 16. Решение 1. Известно, что для трёх последовательных натуральных значений аргумента квадратичная функция f(x) принимает значения 1, 1 и 5 соответственно. Найдите наименьшее

Построение графиков функций 1. План исследования функции при построении графика 1. Найти область определения функции. Часто полезно учесть множество значений функции. Исследовать специальные свойства функции:

Геометрический смысл производной Рассмотрим график функции y=f(x) и касательную в точке P 0 (x 0 ; f(x 0)). Найдем угловой коэффициент касательной к графику в этой точке. Угол наклона касательной Р 0

Геометрический смысл производной, касательная 1. На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x 0. Значение

Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Решение задач с параметрами (01 015

КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ Оглавление КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ... 4. и исследование квадратных уравнений... 4.. Квадратное уравнение с числовыми коэффициентами... 4.. Решить и исследовать квадратные уравнения относительно

Уравнения, неравенства, системы с параметром Ответами к заданиям являются слово, словосочетание, число или последовательность слов, чисел. Запишите ответ без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

РАЗДЕЛ ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ Комментарий Задачи с параметрами традиционно являются сложными заданиями в структуре ЕГЭ, требующими от абитуриента не только владения всеми методами и приемам решения различных

Математика. Собрание заданий (14 апреля 01). Задачи с параметром-. Задача 1. При каких значениях параметра aсуществует единственное решение уравнения 4 + 1 = + a ax x x x a Задача. Найти все действительные

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Метод интервалов Метод интервалов это метод решения так называемых рациональных неравенств. Общее понятие рационального неравенства мы обсудим позже, а сейчас

Дифференциальное исчисление Введение в математический анализ Предел последовательности и функции. Раскрытие неопределенностей в пределах. Производная функции. Правила дифференцирования. Применение производной

Часть I(Вариант 609) A Внесите множитель под знак корня 8 q A) q 8) q 8) q 8) q 8 8 8 q q Верный ответ) Найдите значение выражения),5) Верный ответ) 9 при a = a a)) 8 A log 8 Найдите значение

Решения А Изобразим все данные числа на числовой оси То из них которое расположено левее всех и является наименьшим Это число 4 Ответ: 5 А Проанализируем неравенство На числовой оси множество чисел удовлетворяющих

6..Н. Производная 6..Н. Производная. Оглавление 6..0.Н. Производная Введение.... 6..0.Н. Производная сложной функции.... 5 6..0.Н. Производные от функций с модулями.... 7 6..0.Н. Возрастание и убывание

в) (хе+у"=1, г) (х"+у"=2а - 1,

(ху=а; (ху=а - 1?

9.198. Найдите число решений системы уравнений ((х(+)у~=!,

в зависимости от параметра а.

9.199. Сколько решений в зависимости от а имеет система уравнений:

а) (х"+у"=9, б) (х"+у"+!Ох=0,

(~х~ =у - а; (у=~х - а~?

9.200. При каких значениях параметра а система уравнений

имеет три решения? Найдите зти решения.

9.201. При каких значениях параметра р система уравнений

(ру+х) (х - р УЗ)=О

имеет три решения?

9.202. При каких значениях параметра Ь система уравнений

а) 1 ~х~ +4)у~ = Ь, б) 1 х~ +2 ~у(= 1, в) (~у! +х =4

! ~у!+хг=1 ! ~у!+хг=Ь (х +У =Ь

имеет четыре различных решения?

9.208. При каких значениях параметра с система уравнений

имеет восемь различных решений?

9.204. Решите систему уравнений

где а)О, и докажите, что если а - целое число, то для

каждого решения (х; у) данной системы число 1+ху является квадратом целого числа.

9.205. При каких значениях параметра а система уравнений

х"+ у"+ 2ху - бх - бу+ 10 - а = О,

х"+ у" - 2ху - 2х+ 2У+ а = О

имеет хотя бы одно решение?

Решите систему при найденных значениях а.

9.206. Найдите все значения параметра а, при которых система

уравнений (х"+(у - 2)"=1, имеет хотя бы одно решение.

9.207. Найдите все значения параметра а, при которых окружности х" +д" = 1 и (х - а)» +д" =4 касаются.

9.208. Найдите все значения параметра а (а> О), при которых окружности х"+д"=1 и (х - 3)"+(д - 4)"=а" касаются.

Найдите координаты точки касания.

9.209. Найдите все значения а (а>0), при которых окружность

х"+д"=а" касается прямой Зх+4д=12. Найдите координаты точки касания.

Д" - 2х+ 4д = 21. Найдите координаты точек пересечения

прямой и окружности.

9.211. При каком значении параметра а прямая эд=х+1 будет

проходить через центр окружности (х - 1) +(д - а)"=8?

Найдите координаты точек пересечения прямой и окружности.

9 212. Известно, что прямая д= 12х - 9 и парабола д =ах" имеют

только одну общую точку. Найдите координаты этой точки.

9.213. При каких значениях Ь и г (Ь>0, г>0) окружность

(х - 1)"+(д - Ь)"=г" будет касаться прямых д=0 и д= - х?

Найдите координаты точек касания.

9.214. Изобразите на координатной плоскости множество точек с

координатами (а; Ь) таких, что система уравнений

имеет хотя бы одно решение.

9.215. При каких значениях параметра а система уравнений

а (х"+ 1) = д - ~ х ~ + 1,

имеет единственное решение?

9 1О. ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ

Текстовые задачи, как правило, решают по следующей схеме: выбирают неизвестные; составляют уравнение или систему уравнений, а в некоторых задачах - неравенство или систему неравенств; решают полученную систему (иногда достаточно найти из системы какую-то комбинацию неизвестных, а не решать ее в обычном смысле).

Исследовать систему линейных агебраических уравнений (СЛАУ) на совместность означает выяснить, есть у этой системы решения, или же их нет. Ну и если решения есть, то указать сколько их.

Нам понадобятся сведения из темы "Система линейных алгебраических уравнений. Основные термины. Матричная форма записи" . В частности, нужны такие понятия, как матрица системы и расширенная матрица системы , поскольку именно на них опирается формулировка теоремы Кронекера-Капелли. Как обычно, матрицу системы будем обозначать буквой $A$, а расширенную матрицу системы - буквой $\widetilde{A}$.

Теорема Кронекера-Капелли

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы, т.е. $\rang A=\rang\widetilde{A}$.

Напомню, что система называется совместной, если она имеет хоть одно решение. Теорема Кронекера-Капелли говорит вот о чём: если $\rang A=\rang\widetilde{A}$, то решение есть; если $\rang A\neq\rang\widetilde{A}$, то данная СЛАУ не имеет решений (несовместна). Ответ на вопрос о количестве этих решений даёт следствие из теоремы Кронекера-Капелли. В формулировке следствия использована буква $n$, которая равна количеству переменных заданной СЛАУ.

Следствие из теоремы Кронекера-Капелли

1. Если $\rang A\neq\rang\widetilde{A}$, то СЛАУ несовместна (не имеет решений).
2. Если $\rang A=\rang\widetilde{A} < n$, то СЛАУ является неопределённой (имеет бесконечное количество решений).
3. Если $\rang A=\rang\widetilde{A} = n$, то СЛАУ является определённой (имеет ровно одно решение).

Заметьте, что сформулированная теорема и следствие из неё не указывают, как найти решение СЛАУ. С их помощью можно лишь выяснить, существуют эти решения или нет, а если существуют - то сколько.

Пример №1

Исследовать СЛАУ $ \left \{\begin{aligned} & -3x_1+9x_2-7x_3=17;\\ & -x_1+2x_2-4x_3=9;\\ & 4x_1-2x_2+19x_3=-42. \end{aligned}\right.$ на совместность. Если СЛАУ совместна, указать количество решений.

Чтобы выяснить наличие решений заданной СЛАУ, используем теорему Кронекера-Капелли. Нам понадобятся матрица системы $A$ и расширенная матрица системы $\widetilde{A}$, запишем их:

$$ A=\left(\begin{array} {ccc} -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \end{array} \right);\; \widetilde{A}=\left(\begin{array} {ccc|c} -3 & 9 &-7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9\\ 4 & -2 & 19 & -42 \end{array} \right). $$

Нужно найти $\rang A$ и $\rang\widetilde{A}$. Для этого есть много способов, некоторые из которых перечислены в разделе "Ранг матрицы" . Обычно для исследования таких систем применяют два метода: "Вычисление ранга матрицы по определению" или "Вычисление ранга матрицы методом элементарных преобразований" .

Способ №1. Вычисление рангов по определению.

Согласно определению, ранг - это наивысший порядок миноров матрицы , среди которых есть хоть один, отличный от нуля. Обычно исследование начинают с миноров первого порядка, но здесь удобнее приступить сразу к вычислению минора третьего порядка матрицы $A$. Элементы минора третьего порядка находятся на пересечении трёх строк и трёх столбцов рассматриваемой матрицы. Так как матрица $A$ содержит всего 3 строки и 3 столбца, то минор третьего порядка матрицы $A$ - это определитель матрицы $A$, т.е. $\Delta A$. Для вычисления определителя применим формулу №2 из темы "Формулы для вычисления определителей второго и третьего порядков" :

$$ \Delta A=\left| \begin{array} {ccc} -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \end{array} \right|=-21. $$

Итак, есть минор третьего порядка матрицы $A$, который не равен нулю. Минор четвёртого порядка составить невозможно, так как для него требуется 4 строки и 4 столбца, а в матрице $A$ всего 3 строки и 3 столбца. Итак, наивысший порядок миноров матрицы $A$, среди которых есть хотя бы один не равный нулю, равен 3. Следовательно, $\rang A=3$.

Нам требуется найти также и $\rang\widetilde{A}$. Давайте посмотрим на структуру матрицы $\widetilde{A}$. До черты в матрице $\widetilde{A}$ находятся элементы матрицы $A$, причём мы выяснили, что $\Delta A\neq 0$. Следовательно, у матрицы $\widetilde{A}$ есть минор третьего порядка, который не равен нулю. Миноров четвёртого порядка матрицы $\widetilde{A}$ составить мы не можем, поэтому делаем вывод: $\rang\widetilde{A}=3$.

Так как $\rang A=\rang\widetilde{A}$, то согласно теореме Кронекера-Капелли система совместна, т.е. имеет решение (хотя бы одно). Чтобы указать количество решений, учтём, что наша СЛАУ содержит 3 неизвестных: $x_1$, $x_2$ и $x_3$. Так как количество неизвестных $n=3$, то делаем вывод: $\rang A=\rang\widetilde{A}=n$, поэтому согласно следствия из теоремы Кронекера-Капелли, система является определённой, т.е. имеет единственное решение.

Задача решена. Какие недостатки и преимущества имеет данный способ? Для начала поговорим о плюсах. Во-первых, нам понадобилось найти всего один определитель. После этого мы сразу сделали вывод о количестве решений. Обычно в стандартных типовых расчётах даются системы уравнений, которые содержат три неизвестных и имеют единственное решение. Для таких систем данный метод очень даже удобен, ибо мы заранее знаем, что решение есть (иначе примера не было бы в типовом расчёте). Т.е. нам остаётся только показать наличие решения наиболее быстрым способом. Во-вторых, вычисленное значение определителя матрицы системы (т.е. $\Delta A$) пригодится после: когда станем решать заданную систему методом Крамера или с помощью обратной матрицы .

Однако метод вычисления ранга по определению нежелательно применять, если матрица системы $A$ является прямоугольной. В этом случае лучше применить второй метод, о котором пойдёт речь ниже. Кроме того, если $\Delta A=0$, то мы ничего не сможем сказать о количестве решений заданной неоднородной СЛАУ. Может, СЛАУ имеет бесконечное количество решений, а может - ни одного. Если $\Delta A=0$, то требуется дополнительное исследование, которое зачастую является громоздким.

Подводя итог сказанному, отмечу, что первый способ хорош для тех СЛАУ, у которых матрица системы квадратна. При этом сама СЛАУ содержит три или четыре неизвестных и взята из стандартных типовых расчетов или контрольных работ.

Способ №2. Вычисление ранга методом элементарных преобразований.

Подробно это метод описан в соответствующей теме . Мы станем вычислять ранг матрицы $\widetilde{A}$. Почему именно матрицы $\widetilde{A}$, а не $A$? Дело в том, что матрица $A$ является частью матрицы $\widetilde{A}$, поэтому вычисляя ранг матрицы $\widetilde{A}$ мы одновременно найдем и ранг матрицы $A$.

\begin{aligned} &\widetilde{A} =\left(\begin{array} {ccc|c} -3 & 9 &-7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9\\ 4 & -2 & 19 & -42 \end{array} \right) \rightarrow \left|\text{меняем местами первую и вторую строки}\right| \rightarrow \\ &\rightarrow \left(\begin{array} {ccc|c} -1 & 2 & -4 & 9 \\ -3 & 9 &-7 & 17\\ 4 & -2 & 19 & -42 \end{array} \right) \begin{array} {l} \phantom{0} \\ r_2-3r_1\\ r_3+4r_1 \end{array} \rightarrow \left(\begin{array} {ccc|c} -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 6 & 3 & -6 \end{array} \right) \begin{array} {l} \phantom{0} \\ \phantom{0}\\ r_3-2r_2 \end{array}\rightarrow\\ &\rightarrow \left(\begin{array} {ccc|c} -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 0 & -7 & 14 \end{array} \right) \end{aligned}

Мы привели матрицу $\widetilde{A}$ к ступенчатому виду . Полученная ступенчатая матрица имеет три ненулевых строки, поэтому её ранг равен 3. Следовательно, и ранг матрицы $\widetilde{A}$ равен 3, т.е. $\rang\widetilde{A}=3$. Делая преобразования с элементами матрицы $\widetilde{A}$ мы одновременно преобразовывали и элементы матрицы $A$, расположенные до черты. Матрица $A$ также приведена к ступенчатому виду: $\left(\begin{array} {ccc} -1 & 2 & -4 \\ 0 & 3 &5 \\ 0 & 0 & -7 \end{array} \right)$. Вывод: ранг матрицы $A$ также равен 3, т.е. $\rang A=3$.

Так как $\rang A=\rang\widetilde{A}$, то согласно теореме Кронекера-Капелли система совместна, т.е. имеет решение. Чтобы указать количество решений, учтём, что наша СЛАУ содержит 3 неизвестных: $x_1$, $x_2$ и $x_3$. Так как количество неизвестных $n=3$, то делаем вывод: $\rang A=\rang\widetilde{A}=n$, поэтому согласно следствия из теоремы Кронекера-Капелли, система определена, т.е. имеет единственное решение.

Какие преимущества второго способа? Главное преимущество - это его универсальность. Нам совершенно неважно, является ли матрица системы квадратной или нет. Кроме того, мы фактически провели преобразования прямого хода метода Гаусса . Осталось лишь пару действий, и мы смогли бы получить решение данной СЛАУ. Честно говоря, второй способ нравится мне более первого, но выбор - это дело вкуса.

Ответ : Заданная СЛАУ совместна и определена.

Пример №2

Исследовать СЛАУ $ \left\{ \begin{aligned} & x_1-x_2+2x_3=-1;\\ & -x_1+2x_2-3x_3=3;\\ & 2x_1-x_2+3x_3=2;\\ & 3x_1-2x_2+5x_3=1;\\ & 2x_1-3x_2+5x_3=-4. \end{aligned} \right.$ на совместность.

Находить ранги матрицы системы и расширенной матрицы системы будем методом элементарных преобразований . Расширенная матрица системы: $\widetilde{A}=\left(\begin{array} {ccc|c} 1 & -1 & 2 & -1\\ -1 & 2 & -3 & 3 \\ 2 & -1 & 3 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 1 \\ 2 & -3 & 5 & -4 \end{array} \right)$. Найдём требуемые ранги, преобразовывая расширенную матрицу системы:

$$ \left(\begin{array} {ccc|c} 1 & -1 & 2 & -1\\ -1 & 2 & -3 & 3 \\ 2 & -3 & 5 & -4 \\ 3 & -2 & 5 & 1 \\ 2 & -1 & 3 & 2 \end{array} \right) \begin{array} {l} \phantom{0}\\r_2+r_1\\r_3-2r_1\\ r_4-3r_1\\r_5-2r_1\end{array}\rightarrow \left(\begin{array} {ccc|c} 1 & -1 & 2 & -1\\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & -1 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & -1 & 4 \\ 0 & 1 & -1 & 4 \end{array} \right) \begin{array} {l} \phantom{0}\\\phantom{0}\\r_3-r_2\\ r_4-r_2\\r_5+r_2\end{array}\rightarrow\\ $$ $$ \rightarrow\left(\begin{array} {ccc|c} 1 & -1 & 2 & -1\\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \begin{array} {l} \phantom{0}\\\phantom{0}\\\phantom{0}\\ r_4-r_3\\\phantom{0}\end{array}\rightarrow \left(\begin{array} {ccc|c} 1 & -1 & 2 & -1\\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) $$

Расширенная матрица системы приведена к ступенчатому виду . Ранг ступенчатой матрицы равен количеству её ненулевых строк, поэтому $\rang\widetilde{A}=3$. Матрица $A$ (до черты) тоже приведена к ступенчатому виду, и ранг её равен 2, $\rang{A}=2$.

Так как $\rang A\neq\rang\widetilde{A}$, то согласно теореме Кронекера-Капелли система несовместна (т.е. не имеет решений).

Ответ : система несовместна.

Пример №3

Исследовать СЛАУ $ \left\{ \begin{aligned} & 2x_1+7x_3-5x_4+11x_5=42;\\ & x_1-2x_2+3x_3+2x_5=17;\\ & -3x_1+9x_2-11x_3-7x_5=-64;\\ & -5x_1+17x_2-16x_3-5x_4-4x_5=-90;\\ & 7x_1-17x_2+23x_3+15x_5=132. \end{aligned} \right.$ на совместность.

Приводим расширенную матрицу системы к ступенчатому виду:

$$ \left(\begin{array}{ccccc|c} 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42\\ 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17 \\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64 \\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \end{array} \right) \overset{r_1\leftrightarrow{r_3}}{\rightarrow} $$ $$ \rightarrow\left(\begin{array}{ccccc|c} 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42\\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64\\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \end{array} \right) \begin{array} {l} \phantom{0}\\ r_2-2r_1 \\r_3+3r_1 \\ r_4+5r_1 \\ r_5-7r_1 \end{array} \rightarrow \left(\begin{array}{ccccc|c} 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 0 & 4 & 1 & -5 & 7 & 8\\ 0 & 3 & -2 & 0 & -1 & -13\\ 0 & 7 & -1 & -5 & 6 & -5 \\ 0 & -3 & 2 & 0 & 1 & 13 \end{array} \right) \begin{array} {l} \phantom{0}\\ \phantom{0}\\4r_3+3r_2 \\ 4r_4-7r_2 \\ 4r_5+3r_2 \end{array} \rightarrow $$ $$ \rightarrow\left(\begin{array}{ccccc|c} 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 0 & 4 & 1 & -5 & 7 & 8\\ 0 & 0 & -11 & 15 & -25 & -76\\ 0 & 0 & -11 & 15 & -25 & -76 \\ 0 & 0 & 11 & -15 & 25 & 76 \end{array} \right) \begin{array} {l} \phantom{0}\\ \phantom{0}\\\phantom{0} \\ r_4-r_3 \\ r_5+r_2 \end{array} \rightarrow \left(\begin{array}{ccccc|c} 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 0 & 4 & 1 & -5 & 7 & 8\\ 0 & 0 & -11 & 15 & -25 & -76\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) $$

Мы привели расширенную матрицу системы и саму матрицу системы к ступенчатому виду . Ранг расширенной матрицы системы равен трём, ранг матрицы системы также равен трём. Так как система содержит $n=5$ неизвестных, т.е. $\rang\widetilde{A}=\rang{A}\lt{n}$, то согласно следствия из теоремы Кронекера-Капелли данная система является неопределённой, т.е. имеет бесконечное количество решений.

Ответ : система является неопределённой.

Во второй части мы разберём примеры, которые нередко включают в типовые расчёты или контрольные работы по высшей математике: исследование на совместность и решение СЛАУ в зависимости от значений параметров, входящих в неё.

К задачам с параметром можно отнести, например, поиск решения линейных и квадратных уравнений в общем виде, исследование уравнения на количество имеющихся корней в зависимости от значения параметра.

Не приводя подробных определений, в качестве примеров рассмотрим следующие уравнения:

у = kx, где x, y – переменные, k – параметр;

у = kx + b, где x, y – переменные, k и b – параметр;

аx 2 + bх + с = 0, где x – переменные, а, b и с – параметр.

Решить уравнение (неравенство, систему) с параметром это значит, как правило, решить бесконечное множество уравнений (неравенств, систем).

Задачи с параметром можно условно разделить на два типа:

а) в условии сказано: решить уравнение (неравенство, систему) – это значит, для всех значений параметра найти все решения. Если хотя бы один случай остался неисследованным, признать такое решение удовлетворительным нельзя.

б) требуется указать возможные значения параметра, при которых уравнение (неравенство, система) обладает определенными свойствами. Например, имеет одно решение, не имеет решений, имеет решения, принадлежащие промежутку и т. д. В таких заданиях необходимо четко указать, при каком значении параметра требуемое условие выполняется.

Параметр, являясь неизвестным фиксированным числом, имеет как бы особую двойственность. В первую очередь, необходимо учитывать, что предполагаемая известность говорит о том, что параметр необходимо воспринимать как число. Во вторую очередь, свобода обращения с параметром ограничивается его неизвестностью. Так, например, операции деления на выражение, в котором присутствует параметр или извлечения корня четной степени из подобного выражения требуют предварительных исследований. Поэтому необходима аккуратность в обращении с параметром.

Например, чтобы сравнить два числа -6а и 3а, необходимо рассмотреть три случая:

1) -6a будет больше 3a, если а отрицательное число;

2) -6а = 3а в случае, когда а = 0;

3) -6а будет меньше, чем 3а, если а – число положительное 0.

Решение и будет являться ответом.

Пусть дано уравнение kx = b. Это уравнение – краткая запись бесконечного множества уравнений с одной переменной.

При решении таких уравнений могут быть случаи:

1. Пусть k – любое действительное число не равное нулю и b – любое число изR, тогда x = b/k.

2. Пусть k = 0 и b ≠ 0, исходное уравнение примет вид 0 · x = b. Очевидно, что у такого уравнения решений нет.

3. Пусть k и b числа, равные нулю, тогда имеем равенство 0 · x = 0. Его решение – любое действительное число.

Алгоритм решения такого типа уравнений:

1. Определить «контрольные» значения параметра.

2. Решить исходное уравнение относительно х при тех значениях параметра, которые были определены в первом пункте.

3. Решить исходное уравнение относительно х при значениях параметра, отличающихся от выбранных в первом пункте.

4. Записать ответ можно в следующем виде:

1) при … (значения параметра), уравнение имеет корни …;

2) при … (значения параметра), в уравнении корней нет.

Пример 1.

Решить уравнение с параметром |6 – x| = a.

Решение.

Легко видеть, что здесь a ≥ 0.

По правилу модуля 6 – x = ±a, выразим х:

Ответ: х = 6 ± a, где a ≥ 0.

Пример 2.

Решить уравнение a(х – 1) + 2(х – 1) = 0 относительно переменной х.

Решение.

Раскроем скобки: aх – а + 2х – 2 = 0

Запишем уравнение в стандартном виде: х(а + 2) = а + 2.

В случае, если выражение а + 2 не нуль, т. е. если а ≠ -2, имеем решение х = (а + 2) / (а + 2), т.е. х = 1.

В случае, если а + 2 равно нулю, т.е. а = -2, то имеем верное равенство 0 · x = 0, поэтому х – любое действительное число.

Ответ: х = 1 при а ≠ -2 и х € R при а = -2.

Пример 3.

Решить уравнение x/a + 1 = а + х относительно переменной х.

Решение.

Если а = 0, то преобразуем уравнение к виду а + х = а 2 + ах или (а – 1)х = -а(а – 1). Последнее уравнение при а = 1 имеет вид 0 · x = 0, следовательно, х – любое число.

Если а ≠ 1, то последнее уравнение примет вид х = -а.

Данное решение можно проиллюстрировать на координатной прямой (рис. 1)

Ответ: нет решений при а = 0; х – любое число при а = 1; х = -а при а ≠ 0 и а ≠ 1.

Графический метод

Рассмотрим еще один способ решения уравнений с параметром – графический. Этот метод применяется достаточно часто.

Пример 4.

Сколько корней в зависимости от параметра a имеет уравнение ||x| – 2| = a?

Решение.

Для решения графическим методом строим графики функций y = ||x| – 2| и y = a (рис. 2) .

На чертеже наглядно видны возможные случаи расположения прямой y = a и количество корней в каждом из них.

Ответ: корней у уравнения не будет, если а < 0; два корня будет в случае, если a > 2 и а = 0; три корня уравнение будет иметь в случае а = 2; четыре корня – при 0 < a < 2.

Пример 5.

При каком а уравнение 2|x| + |x – 1| = a имеет единственный корень?

Решение.

Изобразим графики функций y = 2|x| + |x – 1| и y = a. Для y = 2|x| + |x – 1|, раскрыв модули методом промежутков, получим:

{-3x + 1, при x < 0,

y = {x + 1, при 0 ≤ x ≤ 1,

{3x – 1, при x > 1.

На рисунке 3 хорошо видно, что единственный корень уравнение будет иметь только при а = 1.

Ответ: а = 1.

Пример 6.

Определить число решений уравнения |x + 1| + |x + 2| = a в зависимости от параметра а?

Решение.

График функции y = |x + 1| + |x + 2| будет представлять собой ломаную. Ее вершины будут располагаться в точках (-2; 1) и (-1; 1) (рисунок 4) .

Ответ: если параметр a будет меньше единицы, то корней у уравнения не будет; если а = 1, то решение уравнения является бесконечное множество чисел из отрезка [-2; -1]; если значения параметра а будут больше одного, то уравнение будет иметь два корня.

Остались вопросы? Не знаете, как решать уравнения с параметром?
Чтобы получить помощь репетитора – .
Первый урок – бесплатно!

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Предположим, требуется найти все пары значений переменных х и у, которые удовлетворяют уравнение
ху – 6 = 0 и уравнение у – х – 1 = 0, то есть необходимо найти пересечение множеств решений этих уравнений. В таких случаях говорят, что надо решить систему уравнений ху – 6 = 0 и у – х – 1 = 0.

Систему уравнений принято записывать с помощью фигурной скобки. Например, рассматриваемую систему уравнений можно записать так:

{ху – 6 = 0,
{у – х – 1 = 0.

Пара значений переменных, обращающая в истинное равенство каждое уравнение системы, называется решением системы уравнений с двумя переменными.

Решить систему уравнений – значит найти множество её решений.

Рассмотрим системы двух линейных уравнений с двумя переменными, в которых в каждом уравнении хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля.

Графическое решение систем такого вида сводится к отысканию координат общих точек двух прямых.

Как известно, две прямые на плоскости могут быть пересекающимися или параллельными. В случае параллельности прямые либо не имеют общих точек, либо совпадают.

Рассмотрим каждый из этих случаев.

Пример 1.

Решим систему уравнений:

{2х + у = -11,
{х – 2у = 8.

Решение.

{у = -3х – 11,
{у = 0,5х – 4.

Угловые коэффициенты прямых – графиков уравнений системы различны (-3 и 0,5), значит, прямые пересекаются.

Координаты точки их пересечения являются решением этой системы, единственным решением.

Пример 2.

Решим систему уравнений:

{3х – 2у = 12,
{6х – 4у = 11.

Решение.

Выразив из каждого уравнения у через х, получим систему:

{у = 1,5х – 6,
{у = 1,5х – 2,75.

Прямые у = 1,5х – 6 и у = 1,5х – 2,75 имеют равные угловые коэффициенты, значит эти прямые параллельны, причём прямая у = 1,5х – 6 пересекает ось у в точке (0; -6), а прямая у = 1,5х – 2,75 – в точке (0; -2,75), следовательно, прямые не имеют общих точек. Поэтому система уравнений не имеет решений.

В том, что данная система не имеет решений можно убедиться рассуждая следующим образом. Умножив все члены первого уравнения на 2, получим уравнение 6х – 4у = 24.

Сравнивая это уравнение со втором уравнением системы, видим, что левые части уравнений одинаковы, поэтому при тех же значениях х и у они не могут принимать различных значений (24 и 11). Следовательно, система

{6х – 4у = 24,
{6х – 4у = 11.

не имеет решений, значит, не имеет решений и система

{3х – 2у = 12,
{6х – 4у = 11.

Пример 3.

Решим систему уравнений:

{5х – 7у = 16,
{20х – 28у = 64.

Решение.

Разделив каждый член второго уравнения на 4, получим систему:

{5х – 7у = 16,
{5х – 7у = 16,

состоящую из двух одинаковых уравнений. Графики этих уравнений совпадают, поэтому координаты любой точки графика будут удовлетворять каждому из уравнений системы, то есть являться решением системы. Значит, данная система имеет бесконечное множество решений.

Если в каждом уравнении системы двух линейных уравнений с двумя переменными хотя бы один из коэффициентов при переменной не равен нулю, то система либо имеет единственное решение, либо имеет бесконечно много решений.

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.