Пусть две прямые l и m на плоскости в декартовой системе координат заданы общими уравнениями: l: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, m: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0

Векторы нормалей к данным прямым: = (A 1 , B 1) – к прямой l,

= (A 2 , B 2) – к прямой m.

Пусть j - угол между прямыми l и m.

Так как углы с взаимно перпендикулярными сторонами либо равны, либо в сумме составляют p, то , то есть cos j = .

Итак, мы доказали следующую теорему.

Теорема. Пусть j - угол между двумя прямыми на плоскости, и пусть эти прямые заданы в декартовой системе координат общими уравнениями A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Тогда cos j = .

Упражнения.

1) Выведите формулу для вычисления угла между прямыми, если:

(1) обе прямые заданы параметрически; (2) обе прямые заданы каноническими уравнениями; (3) одна прямая задана параметрически, другая прямая – общим уравнением; (4) обе прямые заданы уравнением с угловым коэффициентом.

2) Пусть j - угол между двумя прямыми на плоскости, и пусть эти прямые заданы декартовой системе координат уравнениями y = k 1 x + b 1 и y =k 2 x + b 2 .

Тогда tg j = .

3) Исследуйте взаимное расположение двух прямых, заданных общими уравнениями в декартовой системе координат, и заполните таблицу:

Расстояние от точки до прямой на плоскости.

Пусть на плоскости в декартовой системе координат прямая l задана общим уравнением Ax + By + C = 0. Найдем расстояние от точки M(x 0 , y 0) до прямой l.

Расстояние от точки M до прямой l – это длина перпендикуляра HM (H Î l, HM ^ l).

Вектор и вектор нормали к прямой l коллинеарны, так что | | = | | | | и | | = .

Пусть координаты точки H (x,y).

Так как точка H принадлежит прямой l, то Ax + By + C = 0 (*).

Координаты векторов и : = (x 0 - x, y 0 - y), = (A, B).

| | = = =

(C = -Ax - By , см. (*))

Теорема. Пусть прямая l задана в декартовой системе координат общим уравнением Ax + By + C = 0. Тогда расстояние от точки M(x 0 , y 0) до данной прямой вычисляется по формуле: r (M; l) = .

Упражнения.

1) Выведите формулу для вычисления расстояния от точки до прямой, если: (1) прямая задана параметрически; (2) прямая задана каноническим уравнениям; (3) прямая задана уравнением с угловым коэффициентом.

2) Напишите уравнение окружности, касающейся прямой 3x – y = 0,с центром в точке Q(-2,4).

3) Напишите уравнения прямых, делящих углы, образованные пересечением прямых 2x + y - 1 = 0 и x + y + 1 = 0 , пополам.

§ 27. Аналитическое задание плоскости в пространстве

Определение . Вектором нормали к плоскости будем называть ненулевой вектор, любой представитель которого перпендикулярен данной плоскости.

Замечание. Ясно, что если хотя бы один представитель вектора перпендикулярен плоскости, то и все остальные представители вектора перпендикулярны этой плоскости.

Пусть в пространстве задана декартова система координат.

Пусть дана плоскость a, = (A, B, C) – вектор нормали к этой плоскости, точка M (x 0 , y 0 , z 0) принадлежит плоскости a.

Для любой точки N(x, y, z) плоскости a векторы и ортогональны, то есть их скалярное произведение равно нулю: = 0. Запишем последнее равенство в координатах: A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0.

Пусть -Ax 0 - By 0 - Cz 0 = D, тогда Ax + By + Cz + D = 0.

Возьмем точку К (x, y) такую, что Ax + By + Cz + D = 0. Так как D = -Ax 0 - By 0 - Cz 0 , то A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0. Так как координаты направленного отрезка = (x - x 0 , y - y 0 , z - z 0), то последнее равенство означает, что ^ , и, следовательно, K Î a.

Итак, мы доказали следующую теорему:

Теорема. Любую плоскость в пространстве в декартовой системе координат можно задать уравнением вида Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0), где (A, B, C) – координаты вектора нормали к этой плоскости.

Верно и обратное.

Теорема. Любое уравнение вида Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) в декартовой системе координат задает некоторую плоскость, при этом (A, B, C) – координаты вектора нормали к этой плоскости.

Доказательство.

Возьмем точку M (x 0 , y 0 , z 0) такую, что Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D = 0 и вектор = (A, B, C) ( ≠ q).

Через точку M перпендикулярно вектору проходит плоскость (и при том только одна). По предыдущей теореме эта плоскость задается уравнением Ax + By + Cz + D = 0.

Определение. Уравнение вида Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) называется общим уравнением плоскости .

Пример.

Напишем уравнение плоскости, проходящей через точки M (0,2,4), N (1,-1,0) и K (-1,0,5).

1. Найдем координаты вектора нормали к плоскости (MNK). Так как векторное произведение ´ ортогонально не коллинеарным векторам и , то вектор коллинеарен ´ .

= (1, -3, -4), = (-1, -2, 1);

´ = ,

´ = (-11, 3, -5).

Итак, в качестве вектора нормали возьмем вектор = (-11, 3, -5).

2. Воспользуемся теперь результатами первой теоремы:

уравнение данной плоскости A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0, где (A, B, C) – координаты вектора нормали, (x 0 , y 0 , z 0) – координаты точки лежащей в плоскости (например, точки M).

11(x - 0) + 3(y - 2) - 5(z - 4) = 0

11x + 3y – 5z + 14 = 0

Ответ: -11x + 3y - 5z + 14 = 0.

Упражнения.

1) Напишите уравнение плоскости, если

(1) плоскость проходит через точку M (-2,3,0) параллельно плоскости 3x + y + z = 0;

(2) плоскость содержит ось (Ox) и перпендикулярна плоскости x + 2y – 5z + 7 = 0.

2) Напишите уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.

§ 28. Аналитическое задание полупространства*

Замечание* . Пусть фиксирована некоторая плоскость. Под полупространством мы будем понимать множество точек, лежащих по одну сторону от данной плоскости, то есть две точки лежат в одном полупространстве, если отрезок, их соединяющий, не пересекает данную плоскость. Данная плоскость называется границей этого полупространства . Объединение данной плоскости и полупространства будем называть замкнутым полупространством .

Пусть в пространстве фиксирована декартова система координат.

Теорема. Пусть плоскость a задана общим уравнением Ax + By + Cz + D = 0. Тогда одно из двух полупространств, на которые плоскость a делит пространство, задается неравенством Ax + By + Cz + D > 0, а второе полупространство задается неравенством Ax + By + Cz + D < 0.

Доказательство.

Отложим вектор нормали = (A, B, С) к плоскости a от точки M (x 0 , y 0 , z 0), лежащей на данной плоскости: = , M Î a, MN ^ a. Плоскость делить пространство на два полупространства: b 1 и b 2 . Ясно, что точка N принадлежит одному из этих полупространств. Без ограничения общности будем считать, что N Î b 1 .

Докажем, что полупространство b 1 задается неравенством Ax + By + Cz + D > 0.

1) Возьмем точку K(x,y,z) в полупространстве b 1 . Угол Ð NMK – угол между векторами и - острый, поэтому скалярное произведение этих векторов положительно: > 0. Запишем это неравенство в координатах: A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) > 0, то есть Ax + By + Cy - Ax 0 - By 0 - C z 0 > 0.

Так как M Î b 1 , то Ax 0 + By 0 + C z 0 + D = 0, поэтому -Ax 0 - By 0 - C z 0 = D. Следовательно, последнее неравенство можно записать так: Ax + By + Cz + D > 0.

2) Возьмем точку L(x,y) такую, что Ax + By + Cz + D > 0.

Перепишем неравенство, заменив D на (-Ax 0 - By 0 - C z 0) (так как M Î b 1 , то Ax 0 + By 0 + C z 0 + D = 0): A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) > 0.

Вектор с координатами (x - x 0 ,y - y 0 , z - z 0) – это вектор , поэтому выражение A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) можно понимать, как скалярное произведение векторов и . Так как скалярное произведение векторов и положительно, то угол между ними острый и точка L Î b 1 .

Аналогично можно доказать, что полупространство b 2 задается неравенством Ax + By + Cz + D < 0.

Замечания.

1) Ясно, что доказательство, приведенное выше, не зависит от выбора точки M в плоскости a.

2) Ясно, что одно и то же полупространство можно задать различными неравенствами.

Верно и обратное.

Теорема. Любое линейное неравенство вида Ax + By + Cz + D > 0 (или Ax + By + Cz + D < 0) (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) задает в пространстве в декартовой системе координат полупространство с границей Ax + By + Cz + D = 0.

Доказательство.

Уравнение Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) в пространстве задает некоторую плоскость a (см. § …). Как было доказано в предыдущей теореме одно из двух полупространств, на которые плоскость делит пространство задается неравенством Ax Ax + By + Cz + D > 0.

Замечания.

1) Ясно, что замкнутое полупространство можно задать нестрогим линейным неравенством, и любое нестрогое линейное неравенство в декартовой системе координат задает замкнутое полупространство.

2) Любой выпуклый многогранник можно задать как пересечение замкнутых полупространств (границы которых – это плоскости, содержащие грани многогранника), то есть аналитически – системой линейных нестрогих неравенств.

Упражнения.

1) Докажите две представленные теоремы для произвольной аффинной системы координат.

2) Верно ли обратное, что любая ли система нестрогих линейных неравенств задает выпуклый многоугольник?

Упражнение.

1) Исследуйте взаимное расположение двух плоскостей, заданных общими уравнениями в декартовой системе координат, и заполните таблицу.

Определение. Если заданы две прямые y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , то острый угол между этими прямыми будет определяться как

Две прямые параллельны, если k 1 = k 2 . Две прямые перпендикулярны, если k 1 = -1/ k 2 .

Теорема. Прямые Ах + Ву + С = 0 и А 1 х + В 1 у + С 1 = 0 параллельны, когда пропорциональны коэффициенты А 1 = λА, В 1 = λВ. Если еще и С 1 = λС, то прямые совпадают. Координаты точки пересечения двух прямых находятся как решение системы уравнений этих прямых.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку

Перпендикулярно данной прямой

Определение. Прямая, проходящая через точку М 1 (х 1 , у 1) и перпендикулярная к прямой у = kx + b представляется уравнением:

Расстояние от точки до прямой

Теорема. Если задана точка М(х 0 , у 0), то расстояние до прямой Ах + Ву + С =0 определяется как

.

Доказательство. Пусть точка М 1 (х 1 , у 1) – основание перпендикуляра, опущенного из точки М на заданную прямую. Тогда расстояние между точками М и М 1:

(1)

Координаты x 1 и у 1 могут быть найдены как решение системы уравнений:

Второе уравнение системы – это уравнение прямой, проходящей через заданную точку М 0 перпендикулярно заданной прямой. Если преобразовать первое уравнение системы к виду:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

то, решая, получим:

Подставляя эти выражения в уравнение (1), находим:

Теорема доказана.

Пример . Определить угол между прямыми: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 = -3; k 2 = 2; tgφ = ; φ= p /4.

Пример . Показать, что прямые 3х – 5у + 7 = 0 и 10х + 6у – 3 = 0 перпендикулярны.

Решение . Находим: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, следовательно, прямые перпендикулярны.

Пример . Даны вершины треугольника А(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Найти уравнение высоты, проведенной из вершины С.

Решение . Находим уравнение стороны АВ: ; 4 x = 6 y – 6;

2 x – 3 y + 3 = 0;

Искомое уравнение высоты имеет вид: Ax + By + C = 0 или y = kx + b . k = . Тогда y = . Т.к. высота проходит через точку С, то ее координаты удовлетворяют данному уравнению: откуда b = 17. Итого: .

Ответ: 3 x + 2 y – 34 = 0.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых. Определение точки пересечения двух прямых

1. Уравнение прямой, проходящей через данную точку A (x 1 , y 1) в данном направлении, определяемом угловым коэффициентом k ,

y - y 1 = k (x - x 1). (1)

Это уравнение определяет пучок прямых, проходящих через точку A (x 1 , y 1), которая называется центром пучка.

2. Уравнение прямой, проходящей через две точки: A (x 1 , y 1) и B (x 2 , y 2), записывается так:

Угловой коэффициент прямой, проходящей через две данные точки, определяется по формуле

3. Углом между прямыми A и B называется угол, на который надо повернуть первую прямую A вокруг точки пересечения этих прямых против движения часовой стрелки до совпадения ее со второй прямой B . Если две прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом

y = k 1 x + B 1 ,

y = k 2 x + B 2 , (4)

то угол между ними определяется по формуле

Следует обратить внимание на то, что в числителе дроби из углового коэффициента второй прямой вычитается угловой коэффициент первой прямой.

Если уравнения прямой заданы в общем виде

A 1 x + B 1 y + C 1 = 0,

A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (6)

угол между ними определяется по формуле

4. Условия параллельности двух прямых:

а) Если прямые заданы уравнениями (4) с угловым коэффициентом, то необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в равенстве их угловых коэффициентов:

k 1 = k 2 . (8)

б) Для случая, когда прямые заданы уравнениями в общем виде (6), необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в том, что коэффициенты при соответствующих текущих координатах в их уравнениях пропорциональны, т. е.

5. Условия перпендикулярности двух прямых:

а) В случае, когда прямые заданы уравнениями (4) с угловым коэффициентом, необходимое и достаточное условие их перпендикулярности заключается в том, что их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку, т. е.

Это условие может быть записано также в виде

k 1 k 2 = -1. (11)

б) Если уравнения прямых заданы в общем виде (6), то условие их перпендикулярности (необходимое и достаточное) заключается в выполнении равенства

A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. (12)

6. Координаты точки пересечения двух прямых находят, решая систему уравнений (6). Прямые (6) пересекаются в том и только в том случае, когда

1. Напишите уравнения прямых, проходящих через точку M, одна из которых параллельна, а другая – перпендикулярна заданной прямой l.

Буду кратким. Угол между двумя прямыми равен углу между их направляющими векторами. Таким образом, если вам удастся найти координаты направляющих векторов a = (x 1 ; y 1 ; z 1) и b = (x 2 ; y 2 ; z 2), то сможете найти угол. Точнее, косинус угла по формуле:

Посмотрим, как эта формула работает на конкретных примерах:

Задача. В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 отмечены точки E и F - середины ребер A 1 B 1 и B 1 C 1 соответственно. Найдите угол между прямыми AE и BF.

Поскольку ребро куба не указано, положим AB = 1. Введем стандартную систему координат: начало в точке A, оси x, y, z направим вдоль AB, AD и AA 1 соответственно. Единичный отрезок равен AB = 1. Теперь найдем координаты направляющих векторов для наших прямых.

Найдем координаты вектора AE. Для этого нам потребуются точки A = (0; 0; 0) и E = (0,5; 0; 1). Поскольку точка E - середина отрезка A 1 B 1 , ее координаты равны среднему арифметическому координат концов. Заметим, что начало вектора AE совпадает с началом координат, поэтому AE = (0,5; 0; 1).

Теперь разберемся с вектором BF. Аналогично, разбираем точки B = (1; 0; 0) и F = (1; 0,5; 1), т.к. F - середина отрезка B 1 C 1 . Имеем:
BF = (1 − 1; 0,5 − 0; 1 − 0) = (0; 0,5; 1).

Итак, направляющие векторы готовы. Косинус угла между прямыми - это косинус угла между направляющими векторами, поэтому имеем:

Задача. В правильной трехгранной призме ABCA 1 B 1 C 1 , все ребра которой равны 1, отмечены точки D и E - середины ребер A 1 B 1 и B 1 C 1 соответственно. Найдите угол между прямыми AD и BE.

Введем стандартную систему координат: начало координат в точке A, ось x направим вдоль AB, z - вдоль AA 1 . Ось y направим так, чтобы плоскость OXY совпадала с плоскостью ABC. Единичный отрезок равен AB = 1. Найдем координаты направляющих векторов для искомых прямых.

Для начала найдем координаты вектора AD. Рассмотрим точки: A = (0; 0; 0) и D = (0,5; 0; 1), т.к. D - середина отрезка A 1 B 1 . Поскольку начало вектора AD совпадает с началом координат, получаем AD = (0,5; 0; 1).

Теперь найдем координаты вектора BE. Точка B = (1; 0; 0) считается легко. С точкой E - серединой отрезка C 1 B 1 - чуть сложнее. Имеем:

Осталось найти косинус угла:

Задача. В правильной шестигранной призме ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , все ребра которой равны 1, отмечены точки K и L - середины ребер A 1 B 1 и B 1 C 1 соответственно. Найдите угол между прямыми AK и BL.

Введем стандартную для призмы систему координат: начало координат поместим в центр нижнего основания, ось x направим вдоль FC, ось y - через середины отрезков AB и DE, а ось z - вертикально вверх. Единичный отрезок снова равен AB = 1. Выпишем координаты интересующих нас точек:

Точки K и L - середины отрезков A 1 B 1 и B 1 C 1 соответственно, поэтому их координаты находятся через среднее арифметическое. Зная точки, найдем координаты направляющих векторов AK и BL:

Теперь найдем косинус угла:

Задача. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, отмечены точки E и F - середины сторон SB и SC соответственно. Найдите угол между прямыми AE и BF.

Введем стандартную систему координат: начало в точке A, оси x и y направим вдоль AB и AD соответственно, а ось z направим вертикально вверх. Единичный отрезок равен AB = 1.

Точки E и F - середины отрезков SB и SC соответственно, поэтому их координаты находятся как среднее арифметическое концов. Выпишем координаты интересующих нас точек:
A = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)

Зная точки, найдем координаты направляющих векторов AE и BF:

Координаты вектора AE совпадают с координатами точки E, поскольку точка A - начало координат. Осталось найти косинус угла:

Задача 1

Найти косинус угла между прямыми $\frac{x+3}{5} =\frac{y-2}{-3} =\frac{z-1}{4} $ и $\left\{\begin{array}{c} {x=2\cdot t-3} \\ {y=-t+1} \\ {z=3\cdot t+5} \end{array}\right. $.

Пусть в пространстве заданы две прямые: $\frac{x-x_{1} }{m_{1} } =\frac{y-y_{1} }{n_{1} } =\frac{z-z_{1} }{p_{1} } $ и $\frac{x-x_{2} }{m_{2} } =\frac{y-y_{2} }{n_{2} } =\frac{z-z_{2} }{p_{2} } $. Выберем в пространстве произвольную точку и проведем через неё две вспомогательные прямые, параллельные данным. Углом между данными прямыми является любой из двух смежных углов, образованных вспомогательными прямыми. Косинус одного из углов между прямыми можно найти по известной формуле $\cos \phi =\frac{m_{1} \cdot m_{2} +n_{1} \cdot n_{2} +p_{1} \cdot p_{2} }{\sqrt{m_{1}^{2} +n_{1}^{2} +p_{1}^{2} } \cdot \sqrt{m_{2}^{2} +n_{2}^{2} +p_{2}^{2} } } $. Если значение $\cos \phi >0$, то получен острый угол между прямыми, если $\cos \phi

Канонические уравнения первой прямой: $\frac{x+3}{5} =\frac{y-2}{-3} =\frac{z-1}{4} $.

Канонические уравнения второй прямой можно получить из параметрических:

\ \ \

Таким образом, канонические уравнения данной прямой: $\frac{x+3}{2} =\frac{y-1}{-1} =\frac{z-5}{3} $.

Вычисляем:

\[\cos \phi =\frac{5\cdot 2+\left(-3\right)\cdot \left(-1\right)+4\cdot 3}{\sqrt{5^{2} +\left(-3\right)^{2} +4^{2} } \cdot \sqrt{2^{2} +\left(-1\right)^{2} +3^{2} } } =\frac{25}{\sqrt{50} \cdot \sqrt{14} } \approx 0,9449.\]

Задача 2

Первая прямая проходит через заданные точки $A\left(2,-4,-1\right)$ и $B\left(-3,5,6\right)$, вторая прямая -- через заданные точки $C\left(1,-2,8\right)$ и $D\left(6,7,-2\right)$. Найти расстояние между этими прямыми.

Пусть некоторая прямая перпендикулярна к прямым $AB$ и $CD$ и пересекает их в точках $M$ и $N$ соответственно. При таких условиях длина отрезка $MN$ равна расстоянию между прямыми $AB$ и $CD$.

Строим вектор $\overline{AB}$:

\[\overline{AB}=\left(-3-2\right)\cdot \bar{i}+\left(5-\left(-4\right)\right)\cdot \bar{j}+\left(6-\left(-1\right)\right)\cdot \bar{k}=-5\cdot \bar{i}+9\cdot \bar{j}+7\cdot \bar{k}.\]

Пусть отрезок, изображающий расстояние между прямыми, проходит через точку $M\left(x_{M} ,y_{M} ,z_{M} \right)$ на прямой $AB$.

Строим вектор $\overline{AM}$:

\[\overline{AM}=\left(x_{M} -2\right)\cdot \bar{i}+\left(y_{M} -\left(-4\right)\right)\cdot \bar{j}+\left(z_{M} -\left(-1\right)\right)\cdot \bar{k}=\] \[=\left(x_{M} -2\right)\cdot \bar{i}+\left(y_{M} +4\right)\cdot \bar{j}+\left(z_{M} +1\right)\cdot \bar{k}.\]

Векторы $\overline{AB}$ и $\overline{AM}$ совпадают, следовательно, они коллинеарны.

Известно, что если векторы $\overline{a}=x_{1} \cdot \overline{i}+y_{1} \cdot \overline{j}+z_{1} \cdot \overline{k}$ и $\overline{b}=x_{2} \cdot \overline{i}+y_{2} \cdot \overline{j}+z_{2} \cdot \overline{k}$ коллинеарны, то их координаты пропорциональны, то есть $\frac{x_{{\it 2}} }{{\it x}_{{\it 1}} } =\frac{y_{{\it 2}} }{{\it y}_{{\it 1}} } =\frac{z_{{\it 2}} }{{\it z}_{{\it 1}} } $.

$\frac{x_{M} -2}{-5} =\frac{y_{M} +4}{9} =\frac{z_{M} +1}{7} =m$, где $m$ -- результат деления.

Отсюда получаем: $x_{M} -2=-5\cdot m$; $y_{M} +4=9\cdot m$; $z_{M} +1=7\cdot m$.

Окончательно получаем выражения для координат точки $M$:

Строим вектор $\overline{CD}$:

\[\overline{CD}=\left(6-1\right)\cdot \bar{i}+\left(7-\left(-2\right)\right)\cdot \bar{j}+\left(-2-8\right)\cdot \bar{k}=5\cdot \bar{i}+9\cdot \bar{j}-10\cdot \bar{k}.\]

Пусть отрезок, изображающий расстояние между прямыми, проходит через точку $N\left(x_{N} ,y_{N} ,z_{N} \right)$ на прямой $CD$.

Строим вектор $\overline{CN}$:

\[\overline{CN}=\left(x_{N} -1\right)\cdot \bar{i}+\left(y_{N} -\left(-2\right)\right)\cdot \bar{j}+\left(z_{N} -8\right)\cdot \bar{k}=\] \[=\left(x_{N} -1\right)\cdot \bar{i}+\left(y_{N} +2\right)\cdot \bar{j}+\left(z_{N} -8\right)\cdot \bar{k}.\]

Векторы $\overline{CD}$ и $\overline{CN}$ совпадають, следовательно, они коллинеарны. Применяем условие коллинеарности векторов :

$\frac{x_{N} -1}{5} =\frac{y_{N} +2}{9} =\frac{z_{N} -8}{-10} =n$, где $n$ -- результат деления.

Отсюда получаем: $x_{N} -1=5\cdot n$; $y_{N} +2=9\cdot n$; $z_{N} -8=-10\cdot n$.

Окончательно получаем выражения для координат точки $N$:

Строим вектор $\overline{MN}$:

\[\overline{MN}=\left(x_{N} -x_{M} \right)\cdot \bar{i}+\left(y_{N} -y_{M} \right)\cdot \bar{j}+\left(z_{N} -z_{M} \right)\cdot \bar{k}.\]

Подставляем выражения для координат точек $M$ и $N$:

\[\overline{MN}=\left(1+5\cdot n-\left(2-5\cdot m\right)\right)\cdot \bar{i}+\] \[+\left(-2+9\cdot n-\left(-4+9\cdot m\right)\right)\cdot \bar{j}+\left(8-10\cdot n-\left(-1+7\cdot m\right)\right)\cdot \bar{k}.\]

Выполнив действия, получаем:

\[\overline{MN}=\left(-1+5\cdot n+5\cdot m\right)\cdot \bar{i}+\left(2+9\cdot n-9\cdot m\right)\cdot \bar{j}+\left(9-10\cdot n-7\cdot m\right)\cdot \bar{k}.\]

Поскольку прямые $AB$ и $MN$ перпендикулярны, то скалярное произведение соответствующих векторов равно нулю, то есть $\overline{AB}\cdot \overline{MN}=0$:

\[-5\cdot \left(-1+5\cdot n+5\cdot m\right)+9\cdot \left(2+9\cdot n-9\cdot m\right)+7\cdot \left(9-10\cdot n-7\cdot m\right)=0;\] \

Выполнив действия, получаем первое уравнение для определения $m$ и $n$: $155\cdot m+14\cdot n=86$.

Поскольку прямые $CD$ и $MN$ перпендикулярны, то скалярное произведение соответствующих векторов равно нулю, то есть $\overline{CD}\cdot \overline{MN}=0$:

\ \[-5+25\cdot n+25\cdot m+18+81\cdot n-81\cdot m-90+100\cdot n+70\cdot m=0.\]

Выполнив действия, получаем второе уравнение для определения $m$ и $n$: $14\cdot m+206\cdot n=77$.

Находим $m$ и $n$, решив систему уравнений $\left\{\begin{array}{c} {155\cdot m+14\cdot n=86} \\ {14\cdot m+206\cdot n=77} \end{array}\right. $.

Применяем метод Крамера:

\[\Delta =\left|\begin{array}{cc} {155} & {14} \\ {14} & {206} \end{array}\right|=31734; \] \[\Delta _{m} =\left|\begin{array}{cc} {86} & {14} \\ {77} & {206} \end{array}\right|=16638; \] \[\Delta _{n} =\left|\begin{array}{cc} {155} & {86} \\ {14} & {77} \end{array}\right|=10731;\] \

Находим координаты точек $M$ и $N$:

\ \

Окончательно:

Окончательно записываем вектор $\overline{MN}$:

$\overline{MN}=\left(2,691-\left(-0,6215\right)\right)\cdot \bar{i}+\left(1,0438-0,7187\right)\cdot \bar{j}+\left(4,618-2,6701\right)\cdot \bar{k}$ или $\overline{MN}=3,3125\cdot \bar{i}+0,3251\cdot \bar{j}+1,9479\cdot \bar{k}$.

Расстояние между прямыми $AB$ и $CD$ -- это длина вектора $\overline{MN}$:$d=\sqrt{3,3125^{2} +0,3251^{2} +1,9479^{2} } \approx 3,8565$ лин. ед.

О-о-о-о-о… ну и жесть, словно вам сам себе приговор зачитал =) Впрочем, потом релаксация поможет, тем более, сегодня купил подходящие аксессуары. Поэтому приступим к первому разделу, надеюсь, к концу статьи сохраню бодрое расположение духа.

Взаимное расположение двух прямых

Тот случай, когда зал подпевает хором. Две прямые могут :

1) совпадать;

2) быть параллельными: ;

3) или пересекаться в единственной точке: .

Справка для чайников : пожалуйста, запомните математический знак пересечения , он будет встречаться очень часто. Запись обозначает, что прямая пересекается с прямой в точке .

Как определить взаимное расположение двух прямых?

Начнём с первого случая:

Две прямые совпадают, тогда и только тогда, когда их соответствующие коэффициенты пропорциональны , то есть, существует такое число «лямбда», что выполняются равенства

Рассмотрим прямые и составим три уравнения из соответствующих коэффициентов: . Из каждого уравнения следует, что , следовательно, данные прямые совпадают.

Действительно, если все коэффициенты уравнения умножить на –1 (сменить знаки), и все коэффициенты уравнения сократить на 2, то получится одно и то же уравнение: .

Второй случай, когда прямые параллельны:

Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда их коэффициенты при переменных пропорциональны: , но .

В качестве примера рассмотрим две прямые . Проверяем пропорциональность соответствующих коэффициентов при переменных :

Однако совершенно очевидно, что .

И третий случай, когда прямые пересекаются:

Две прямые пересекаются, тогда и только тогда, когда их коэффициенты при переменных НЕ пропорциональны , то есть НЕ существует такого значения «лямбда», чтобы выполнялись равенства

Так, для прямых составим систему:

Из первого уравнения следует, что , а из второго уравнения: , значит, система несовместна (решений нет). Таким образом, коэффициенты при переменных не пропорциональны.

Вывод: прямые пересекаются

В практических задачах можно использовать только что рассмотренную схему решения. Она, кстати, весьма напоминает алгоритм проверки векторов на коллинеарность, который мы рассматривали на уроке Понятие линейной (не) зависимости векторов. Базис векторов . Но существует более цивилизованная упаковка:

Пример 1

Выяснить взаимное расположение прямых:

Решение основано на исследовании направляющих векторов прямых:

а) Из уравнений найдём направляющие векторы прямых: .

, значит, векторы не коллинеарны и прямые пересекаются.

На всякий случай поставлю на распутье камень с указателями:

Остальные перепрыгивают камень и следуют дальше, прямо к Кащею Бессмертному =)

б) Найдем направляющие векторы прямых :

Прямые имеют один и тот же направляющий вектор, значит, они либо параллельны, либо совпадают. Тут и определитель считать не надо.

Очевидно, что коэффициенты при неизвестных пропорциональны, при этом .

Выясним, справедливо ли равенство :

Таким образом,

в) Найдем направляющие векторы прямых :

Вычислим определитель, составленный из координат данных векторов:
, следовательно, направляющие векторы коллинеарны. Прямые либо параллельны либо совпадают.

Коэффициент пропорциональности «лямбда» нетрудно усмотреть прямо из соотношения коллинеарных направляющих векторов . Впрочем, его можно найти и через коэффициенты самих уравнений: .

Теперь выясним, справедливо ли равенство . Оба свободных члена нулевые, поэтому:

Полученное значение удовлетворяет данному уравнению (ему удовлетворяет вообще любое число).

Таким образом, прямые совпадают.

Ответ :

Очень скоро вы научитесь (или даже уже научились) решать рассмотренную задачу устно буквально в считанные секунды. В этой связи не вижу смысла предлагать что-либо для самостоятельного решения, лучше заложим ещё один важный кирпич в геометрический фундамент:

Как построить прямую, параллельную данной?

За незнание этой простейшей задачи сурово наказывает Соловей-Разбойник.

Пример 2

Прямая задана уравнением . Составить уравнение параллельной прямой, которая проходит через точку .

Решение : Обозначим неизвестную прямую буквой . Что о ней сказано в условии? Прямая проходит через точку . А если прямые параллельны, то очевидно, что направляющий вектор прямой «цэ» подойдёт и для построения прямой «дэ».

Вытаскиваем направляющий вектор из уравнения :

Ответ :

Геометрия примера выглядит незатейливо:

Аналитическая же проверка состоит в следующих шагах:

1) Проверяем, что у прямых один и тот же направляющий вектор (если уравнение прямой не упрощено должным образом, то векторы будут коллинеарны).

2) Проверяем, удовлетворяет ли точка полученному уравнению .

Аналитическую проверку в большинстве случаев легко выполнить устно. Посмотрите на два уравнения, и многие из вас быстро определят параллельность прямых безо всякого чертежа.

Примеры для самостоятельного решения сегодня будут творческими. Потому что вам ещё придётся тягаться с Бабой-Ягой, а она, знаете, любительница всяких загадок.

Пример 3

Составить уравнение прямой, проходящей через точку , параллельную прямой , если

Существует рациональный и не очень рациональный способ решения. Самый короткий путь – в конце урока.

С параллельными прямыми немного поработали и к ним ещё вернёмся. Случай совпадающих прямых малоинтересен, поэтому рассмотрим задачу, которая хорошо знакома вам из школьной программы:

Как найти точку пересечения двух прямых?

Если прямые пересекаются в точке , то её координаты являются решением системы линейных уравнений

Как найти точку пересечения прямых? Решить систему.

Вот вам и геометрический смысл системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными – это две пересекающиеся (чаще всего) прямые на плоскости.

Пример 4

Найти точку пересечения прямых

Решение : Существуют два способа решения – графический и аналитический.

Графический способ состоит в том, чтобы просто начертить данные прямые и узнать точку пересечения непосредственно из чертежа:

Вот наша точка: . Для проверки следует подставить её координаты в каждое уравнение прямой, они должны подойти и там, и там. Иными словами, координаты точки являются решением системы . По сути, мы рассмотрели графический способ решения системы линейных уравнений с двумя уравнениями, двумя неизвестными.

Графический способ, конечно, неплох, но существует заметные минусы. Нет, дело не в том, что так решают семиклассники, дело в том, что на правильный и ТОЧНЫЙ чертёж уйдёт время. Кроме того, некоторые прямые построить не так-то просто, да и сама точка пересечения может находиться где-нибудь в тридесятом царстве за пределами тетрадного листа.

Поэтому точку пересечения целесообразнее искать аналитическим методом. Решим систему:

Для решения системы использован метод почленного сложения уравнений. Чтобы наработать соответствующие навыки, посетите урок Как решить систему уравнений?

Ответ :

Проверка тривиальна – координаты точки пересечения должны удовлетворять каждому уравнению системы.

Пример 5

Найти точку пересечения прямых в том случае, если они пересекаются.

Это пример для самостоятельного решения. Задачу удобно разбить на несколько этапов. Анализ условия подсказывает, что необходимо:
1) Составить уравнение прямой .
2) Составить уравнение прямой .
3) Выяснить взаимное расположение прямых .
4) Если прямые пересекаются, то найти точку пересечения.

Разработка алгоритма действий типична для многих геометрических задач, и я на этом буду неоднократно заострять внимание.

Полное решение и ответ в конце урока:

Ещё не стоптана и пара башмаков, как мы подобрались ко второму разделу урока:

Перпендикулярные прямые. Расстояние от точки до прямой.
Угол между прямыми

Начнём с типовой и очень важной задачи. В первой части мы узнали, как построить прямую, параллельную данной, а сейчас избушка на курьих ножках развернётся на 90 градусов:

Как построить прямую, перпендикулярную данной?

Пример 6

Прямая задана уравнением . Составить уравнение перпендикулярной прямой , проходящей через точку .

Решение : По условию известно, что . Неплохо бы найти направляющий вектор прямой . Поскольку прямые перпендикулярны, фокус прост:

Из уравнения «снимаем» вектор нормали: , который и будет направляющим вектором прямой .

Уравнение прямой составим по точке и направляющему вектору :

Ответ :

Развернём геометрический этюд:

М-да… Оранжевое небо, оранжевое море, оранжевый верблюд.

Аналитическая проверка решения:

1) Из уравнений вытаскиваем направляющие векторы и с помощью скалярного произведения векторов приходим к выводу, что прямые действительно перпендикулярны: .

Кстати, можно использовать векторы нормали, это даже проще.

2) Проверяем, удовлетворяет ли точка полученному уравнению .

Проверку, опять же, легко выполнить устно.

Пример 7

Найти точку пересечения перпендикулярных прямых , если известно уравнение и точка .

Это пример для самостоятельного решения. В задаче несколько действий, поэтому решение удобно оформить по пунктам.

Наше увлекательное путешествие продолжается:

Расстояние от точки до прямой

Перед нами прямая полоса реки и наша задача состоит в том, чтобы дойти до неё кратчайшим путём. Препятствий нет, и самым оптимальным маршрутом будет движение по перпендикуляру. То есть, расстояние от точки до прямой – это длина перпендикулярного отрезка.

Расстояние в геометрии традиционно обозначают греческой буквой «ро», например: – расстояние от точки «эм» до прямой «дэ».

Расстояние от точки до прямой выражается формулой

Пример 8

Найти расстояние от точки до прямой

Решение : всё что нужно, это аккуратно подставить числа в формулу и провести вычисления:

Ответ :

Выполним чертёж:

Найденное расстояние от точки до прямой – это в точности длина красного отрезка. Если оформить чертёж на клетчатой бумаге в масштабе 1 ед. = 1 см (2 клетки), то расстояние можно измерить обыкновенной линейкой.

Рассмотрим ещё одно задание по этому же чертежу:

Задача состоит в том, чтобы найти координаты точки , которая симметрична точке относительно прямой . Предлагаю выполнить действия самостоятельно, однако обозначу алгоритм решения с промежуточными результатами:

1) Находим прямую , которая перпендикулярна прямой .

2) Находим точку пересечения прямых: .

Оба действия подробно разобраны в рамках данного урока.

3) Точка является серединой отрезка . Нам известны координаты середины и одного из концов. По формулам координат середины отрезка находим .

Не лишним будет проверить, что расстояние тоже равно 2,2 единицам.

Трудности здесь могут возникнуть в вычислениях, но в вышке здорово выручает микрокалькулятор, позволяющий считать обыкновенные дроби. Неоднократно советовал, посоветую и снова.

Как найти расстояние между двумя параллельными прямыми?

Пример 9

Найти расстояние между двумя параллельными прямыми

Это очередной пример для самостоятельного решения. Немного подскажу: тут бесконечно много способов решения. Разбор полётов в конце урока, но лучше постарайтесь догадаться сами, думаю, вашу смекалку удалось неплохо разогнать.

Угол между двумя прямыми

Что ни угол, то косяк:


В геометрии за угол между двумя прямыми принимается МЕНЬШИЙ угол, из чего автоматически следует, что он не может быть тупым. На рисунке угол, обозначенный красной дугой, не считается углом между пересекающимися прямыми. А считается таковым его «зелёный» сосед или противоположно ориентированный «малиновый» угол .

Если прямые перпендикулярны, то за угол между ними можно принимать любой из 4 углов.

Чем отличаются углы ? Ориентацией. Во-первых, принципиально важным является направление «прокрутки» угла. Во-вторых, отрицательно ориентированный угол записывается со знаком «минус», например, если .

Зачем я это рассказал? Вроде бы можно обойтись и обычным понятием угла. Дело в том, что в формулах, по которым мы будем находить углы, запросто может получиться отрицательный результат, и это не должно застать вас врасплох. Угол со знаком «минус» ничем не хуже, и имеет вполне конкретный геометрический смысл. На чертеже для отрицательного угла следует обязательно указывать стрелкой его ориентацию (по часовой стрелке).

Как найти угол между двумя прямыми? Существуют две рабочие формулы:

Пример 10

Найти угол между прямыми

Решение и Способ первый

Рассмотрим две прямые, заданные уравнениями в общем виде:

Если прямые не перпендикулярны , то ориентированный угол между ними можно вычислить с помощью формулы:

Самое пристальное внимание обратим на знаменатель – это в точности скалярное произведение направляющих векторов прямых:

Если , то знаменатель формулы обращается в ноль, а векторы будут ортогональны и прямые перпендикулярны. Именно поэтому сделана оговорка о неперпендикулярности прямых в формулировке.

Исходя из вышесказанного, решение удобно оформить в два шага:

1) Вычислим скалярное произведение направляющих векторов прямых:
, значит, прямые не перпендикулярны.

2) Угол между прямыми найдём по формуле:

С помощью обратной функции легко найти и сам угол. При этом используем нечётность арктангенса (см. Графики и свойства элементарных функций ):

Ответ :

В ответе указываем точное значение, а также приближённое значение (желательно и в градусах, и в радианах), вычисленное с помощью калькулятора.

Ну, минус, так минус, ничего страшного. Вот геометрическая иллюстрация:

Неудивительно, что угол получился отрицательной ориентации, ведь в условии задачи первым номером идёт прямая и «открутка» угла началась именно с неё.

Если очень хочется получить положительный угол, нужно поменять прямые местами, то есть коэффициенты взять из второго уравнения , а коэффициенты взять из первого уравнения . Короче говоря, начать необходимо с прямой .